WikiDer > Обобщенная алгебра Каца – Муди.

Generalized Kac–Moody algebra

В математика, а обобщенная алгебра Каца – Муди это Алгебра Ли это похоже на Алгебра Каца – Муди, за исключением того, что разрешено иметь мнимые простые корни. Обобщенные алгебры Каца – Муди также иногда называют Алгебры GKM, Алгебры Борчердса – Каца – Муди, BKM алгебры, или Алгебры Борчердса. Самый известный пример - это монстр алгебра Ли.

Мотивация

Конечномерный полупростые алгебры Ли обладают следующими свойствами:

  • Они имеют невырожденную симметрическую инвариантную билинейную форму (,).
  • У них есть такая градация, что кусок нулевой степени ( Подалгебра Картана) абелева.
  • У них есть (Картан) инволюция ш.
  • (а, w (а)) положительно, если а не равно нулю.

Например, для алгебр п от п матрицы нулевого следа, билинейная форма имеет вид (а, б) = Трассировка (ab), инволюция Картана задается минус транспонирование, а градуировка может быть дана «расстоянием от диагонали», так что подалгебра Картана является диагональными элементами.

И наоборот, можно попытаться найти все алгебры Ли с этими свойствами (и удовлетворяющими некоторым другим техническим условиям). Ответ состоит в том, что можно получить суммы конечномерных и аффинные алгебры Ли.

В монстр алгебра Ли удовлетворяет несколько более слабую версию приведенных выше условий: (а, w (а)) положительно, если а отличен от нуля и имеет ненулевая степень, но может быть отрицательным, когда а имеет нулевую степень. Алгебры Ли, удовлетворяющие этим более слабым условиям, являются более или менее обобщенными алгебрами Каца – Муди. По сути, они аналогичны алгебрам, задаваемым некоторыми генераторами и соотношениями (описанными ниже).

Неформально обобщенные алгебры Каца – Муди - это алгебры Ли, которые ведут себя как конечномерные полупростые алгебры Ли. В частности, у них есть Группа Вейля, Формула характера Вейля, Подалгебра Картана, корни, веса и т. д.

Определение

Симметричный Матрица Картана представляет собой (возможно, бесконечную) квадратную матрицу с элементами такой, что

  • если
  • является целым числом, если

Универсальная обобщенная алгебра Каца – Муди с заданной симметризованной матрицей Картана определяется формулой генераторы и и и отношения

  • если , 0 иначе
  • ,
  • для применения или если
  • если

Они отличаются от соотношений (симметризуемых) Алгебра Каца – Муди главным образом, позволяя диагональным элементам матрицы Картана быть неположительными. Другими словами, мы позволяем простым корням быть мнимыми, тогда как в алгебре Каца – Муди простые корни всегда действительны.

Обобщенная алгебра Каца – Муди получается из универсальной путем изменения матрицы Картана, операций уничтожения чего-либо в центре или взятия центральное расширение, или добавив внешние отведения.

Некоторые авторы дают более общее определение, убирая условие симметричности матрицы Картана. Об этих несимметризуемых обобщенных алгебрах Каца – Муди известно немного, и, похоже, там нет интересных примеров.

Также возможно распространить определение на супералгебры.

Структура

Обобщенную алгебру Каца – Муди можно градуировать, задавая ея степень 1, жя степень -1, и чася степень 0.

Фрагмент нулевой степени - это абелева подалгебра, натянутая на элементы чася и называется Подалгебра Картана.

Свойства

Большинство свойств обобщенных алгебр Каца – Муди являются прямым расширением обычных свойств (симметризуемых) алгебр Каца – Муди.

Примеры

Считается, что наиболее обобщенные алгебры Каца – Муди не имеют отличительных черт. Интересные бывают трех типов:

Похоже, что существует лишь конечное число примеров третьего типа. монстр алгебра Ли, действовало группа монстров и используется в чудовищный самогон домыслы, а поддельный монстр алгебра Ли. Есть похожие примеры, связанные с некоторыми другими спорадические простые группы.

Можно найти множество примеров обобщенных алгебр Каца – Муди, используя следующий принцип: все, что выглядит как обобщенная алгебра Каца – Муди, является обобщенной алгеброй Каца – Муди. Более точно, если алгебра Ли градуирована лоренцевой решеткой, имеет инвариантную билинейную форму и удовлетворяет нескольким другим легко проверяемым техническим условиям, то это обобщенная алгебра Каца – Муди. В частности, можно использовать вершинные алгебры для построения алгебры Ли из любых ровная решетка.Если решетка положительно определена, она дает конечномерную полупростую алгебру Ли, если она положительно полуопределена, она дает аффинную алгебру Ли, а если она лоренцева, она дает алгебру, удовлетворяющую указанным выше условиям, которая, следовательно, является обобщенной алгеброй Каца – Муди. алгебра. Когда решетка является четной 26-мерной унимодулярной лоренцевой решеткой, конструкция дает ложную алгебру Ли монстра; все остальные лоренцевы решетки, кажется, дают неинтересные алгебры.

использованная литература

  • Кац, Виктор Г. (1994). Бесконечномерные алгебры Ли (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-46693-8. Cite имеет пустой неизвестный параметр: | соавторы = (Помогите)
  • Вакимото, Минору (2001). Бесконечномерные алгебры Ли. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-2654-9. Cite имеет пустой неизвестный параметр: | соавторы = (Помогите)
  • Рэй, Урми (2006). Автоморфные формы и супералгебры Ли. Дордрехт: Спрингер. ISBN 1-4020-5009-7. Cite имеет пустой неизвестный параметр: | соавторы = (Помогите)