WikiDer > Подниматься и опускаться

Going up and going down

В коммутативная алгебра, филиал математика, подниматься и спускаться термины, которые относятся к определенным свойствам цепи из главные идеалы в интегральные расширения.

Фраза подниматься относится к случаю, когда цепочка может быть расширена на «вверх включение", пока спускаться относится к случаю, когда цепочка может быть расширена «включением вниз».

Основными результатами являются Теоремы Коэна – Зайденберга, что было доказано Ирвин С. Коэн и Авраам Зайденберг. Они известны как подниматься и теоремы о понижении.

Подниматься и опускаться

Позволять А ⊆ B быть расширение коммутативных колец.

Теоремы о восходящем и нисходящем уровнях дают достаточные условия для цепочки простых идеалов в B, каждый член которой лежит над членами более длинной цепочки первичных идеалов в А, чтобы можно было продолжить до длины цепочки простых идеалов в А.

Лежа и несравнимость

Для начала исправим некоторую терминологию. Если и находятся главные идеалы из А и Bсоответственно такие, что

(Обратите внимание, что автоматически становится главным идеалом А) то говорим, что лежит под и это лежит над . В общем, расширение кольца А ⊆ B коммутативных колец удовлетворяет лежащий на собственности если каждый главный идеал из А лежит под каким-то первичным идеалом изB.

Расширение А ⊆ B считается, что удовлетворяет свойство несравнимости если когда-нибудь и являются разными простыми числами B лежащий над простым в А, тогда  ⊈  и  ⊈ .

Подниматься

Расширение кольца А ⊆ B считается, что удовлетворяет растущее имущество если когда-нибудь

это цепочка главные идеалы из А и

(м < п) представляет собой цепочку простых идеалов B такое, что для каждого 1 ≤я ≤ м, лежит над , то последнюю цепочку можно продолжить до цепочки

такое, что для каждого 1 ≤я ≤ п, лежит над .

В (Капланский 1970) показано, что если расширение А ⊆ B удовлетворяет свойству подъема вверх, то он также удовлетворяет свойству перекрытия.

Спускаться

Расширение кольца А ⊆ B считается, что удовлетворяет обрушивающееся имущество если когда-нибудь

представляет собой цепочку простых идеалов А и

(м < п) представляет собой цепочку простых идеалов B такое, что для каждого 1 ≤я ≤ м, лежит над , то последнюю цепочку можно продолжить до цепочки

такое, что для каждого 1 ≤я ≤ п, лежит над .

Имеется обобщение случая расширения колец с морфизмами колец. Позволять ж : А → B быть (единым) кольцевой гомоморфизм так что B является кольцевым расширением ж(А). потом ж считается, что удовлетворяет растущее имущество если свойство роста сохраняется для ж(А) вB.

Аналогично, если B является кольцевым расширением ж(А), тогда ж считается, что удовлетворяет обрушивающееся имущество если свойство снижения сохраняется для ж(А) в B.

В случае обычных удлинителей кольца, таких как А ⊆ B, то карта включения уместная карта.

Теоремы о повышении и понижении

Обычные утверждения теорем о восходящем и нисходящем положении относятся к расширению кольца. А ⊆ B:

  1. (Поднимаясь) Если B является интегральное расширение из А, то расширение удовлетворяет свойству подъема вверх (и, следовательно, свойству перекрытия) и свойству несравнимости.
  2. (Спускается) Если B является интегральным расширением А, и B это домен, а А интегрально замкнуто в своем поле дробей, то расширение (в дополнение к восходящей, лежащей наверху и несравнимости) удовлетворяет свойству нисходящего движения.

Есть еще одно достаточное условие понижающейся собственности:

Доказательство:[2] Позволять п1 ⊆ п2 быть главными идеалами А и разреши q2 быть главным идеалом B такой, что q2 ∩ А = п2. Мы хотим доказать, что существует простой идеал q1 из B содержалась в q2 такой, что q1 ∩ А = п1. С А ⊆ B является плоским продолжением колец, отсюда следует, что Ап2 ⊆ Bq2 является плоским продолжением колец. Фактически, Ап2 ⊆ Bq2 является строго плоским продолжением колец, поскольку отображение включения Ап2 → Bq2 является локальным гомоморфизмом. Следовательно, индуцированное отображение на спектрах Spec (Bq2) → Спец (Ап2) сюръективен и существует простой идеал Bq2 что сужается к первому идеалу п1Ап2 из Ап2. Сужение этого первичного идеала Bq2 к B это главный идеал q1 из B содержалась в q2 что сужается к п1. Доказательство завершено.Q.E.D.

Рекомендации

  1. ^ Это следует из гораздо более общей леммы Брунса-Герцога, лемма A.9 на стр. 415.
  2. ^ Мацумура, стр. 33, (5.D), теорема 4
  • Атья, М.Ф., и И. Г. Макдональд, Введение в коммутативную алгебру, Книги Персея, 1969, ISBN 0-201-00361-9 МИСТЕР242802
  • Винфрид Брунс; Юрген Херцог, Кольца Коэна – Маколея. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii + 403 pp. ISBN 0-521-41068-1
  • Cohen, I.S .; Зайденберг, А. (1946). «Первичные идеалы и интегральная зависимость». Бык. Амер. Математика. Soc. 52 (4): 252–261. Дои:10.1090 / с0002-9904-1946-08552-3. МИСТЕР 0015379.
  • Каплански, Ирвинг, Коммутативные кольца, Аллин и Бэкон, 1970.
  • Мацумура, Хидеюки (1970). Коммутативная алгебра. В. А. Бенджамин. ISBN 978-0-8053-7025-6.
  • Шарп Р. Ю. (2000). «13 Интегральная зависимость от подколец (13.38 Теорема о восходящем движении, стр. 258–259; 13.41 Теорема о понижении, стр. 261–262)». Шаги в коммутативной алгебре. Тексты студентов Лондонского математического общества. 51 (Второе изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. xii + 355. ISBN 0-521-64623-5. МИСТЕР 1817605.