WikiDer > Матрица зелени - Википедия

Эта статья не цитировать любой источники. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удаленный. Найдите источники: «Матрица Грина» – Новости · газеты · книги · ученый · JSTOR (Апрель 2017 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, и в частности обыкновенные дифференциальные уравнения, а Матрица Грина помогает найти частное решение неоднородной линейной системы ОДУ первого порядка. Концепция названа в честь Джордж Грин.

Например, рассмотрим ${ Displaystyle х '= А (т) х + г (т) ,}$ куда ${ Displaystyle х ,}$ вектор и ${ Displaystyle А (т) ,}$ является ${ Displaystyle п раз п ,}$ матричная функция ${ Displaystyle т ,}$, которая непрерывна при ${ Displaystyle т в я, а leq т leq b ,}$, куда ${ Displaystyle I ,}$ это некоторый интервал.

Теперь позвольте ${ Displaystyle х ^ {1} (т), ldots, х ^ {п} (т) ,}$ быть ${ Displaystyle п ,}$ линейно независимые решения однородного уравнения ${ Displaystyle х '= А (т) х ,}$ и расположите их по столбцам, чтобы сформировать фундаментальную матрицу:

${ Displaystyle X (t) = left [x ^ {1} (t), ldots, x ^ {n} (t) right]. ,}$

Сейчас же ${ Displaystyle Х (т) ,}$ является ${ Displaystyle п раз п ,}$ матричное решение ${ Displaystyle X '= ТОПОР ,}$.

Эта фундаментальная матрица предоставит однородное решение, а если добавить к частному решению, даст общее решение неоднородного уравнения.

Позволять ${ displaystyle x = Xy ,}$ быть общим решением. Сейчас же,

${ displaystyle { begin {align} x '& = X'y + Xy' & = AXy + Xy ' & = Ax + Xy'. end {align}}}$

Из этого следует ${ Displaystyle Xy '= г ,}$ или же ${ displaystyle y = c + int _ {a} ^ {t} X ^ {- 1} (s) g (s) , ds ,}$ куда ${ displaystyle c ,}$ - произвольный постоянный вектор.

Теперь общее решение ${ Displaystyle х = Икс (т) с + Икс (т) int _ {a} ^ {t} X ^ {- 1} (s) g (s) , ds. ,}$

Первый член - это однородное решение, а второй - частное решение.

Теперь определим матрицу Грина ${ Displaystyle G_ {0} (t, s) = { begin {case} 0 & t leq s leq b X (t) X ^ {- 1} (s) & a leq s$

Теперь можно написать конкретное решение ${ displaystyle x_ {p} (t) = int _ {a} ^ {b} G_ {0} (t, s) g (s) , ds. ,}$

внешняя ссылка

• Пример решения неоднородной системы линейных ОДУ и нахождения матрицы Грина на сайте www.exampleproblems.com.