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EIN ehrgeizig ist ein quantifizierbar Eigentum einer Entität. Wichtige Beispiele sind physikalische Quantitäten und Mengen, die sich auf Geldbeträge beziehen.
Ein Beispiel für eine Menge ist die Länge eines bestimmten Sticks. Das Abmessungen dieser Menge ist Länge.
Mengen können durch Multiplizieren und Dividieren zu neuen Mengen zusammengefasst werden Analog zu Mengen können Dimensionen durch Multiplizieren und Dividieren zu neuen Dimensionen zusammengefasst werden. „Dimensionslosigkeit“ kann verstanden werden als Einheitselement der Dimension, so dass jede Menge eine Dimension hat.
Oft werden bestimmte Größen pro Dimension mit dieser Dimension verwendet, die vorzugsweise leicht ineinander umgerechnet werden können als Maßeinheit oder kurz Einheit. Bei der SI-System für die Dimension Länge sind dies beispielsweise der Meter und daraus abgeleitet der Kilometer und der Zentimeter.
Eine Größe wird dann als Produkt einer dimensionslosen Größe (de numerisch Wert der Menge in der verwendeten Einheit) und diese Einheit mit der gleichen Dimension wie die Menge.
Eine dimensionslose Größe würde somit als Produkt zweier dimensionsloser Größen ausgedrückt, kann aber einfach als Zahl ausgedrückt werden. Dies kommt der stillschweigenden Verwendung der trivialen Einheit 1 gleich. Es kann jedoch auch eine nicht-triviale dimensionslose Einheit verwendet werden, wie z Prozent (0,01); diese Einheit wird oft mit einem dimensionslosen Verhältnis.
Beispiele
Ein Mietpreis bezieht sich oft auf einen Mietpreis pro Zeiteinheit. Die Miete über einen bestimmten Zeitraum ist dann das Produkt aus der Dauer und dieser Miete pro Zeiteinheit. Umgekehrt ist der Mietpreis pro Zeiteinheit die Mietsumme für den gesamten Zeitraum dividiert durch die Dauer.
Miete pro Zeiteinheit und Lohn pro Zeiteinheit haben beide die Dimension Betrag pro Zeiteinheit. Eine Einheit für diese Dimension (dh für Mengen mit dieser Dimension) ist beispielsweise Euro pro Monat.
Bei Geldbeträgen ist die Einheit der Währungen. Häufig verwendete Größen mit einer anderen Dimension als "Betrag" mit Beispielen für zugehörige Einheiten sind Betrag pro Zeiteinheit (Euro/Stunde, Euro/Tag, Euro/Monat oder Euro/Jahr), Betrag pro Masseeinheit (Euro/kg), Menge pro Volumeneinheit (Euro/Liter), Menge pro Längeneinheit (Euro/m oder Euro/km), Menge pro Flächeneinheit (Euro/m²) und Menge pro Flächeneinheit pro Zeiteinheit (Euro/m²/Jahr) . Zinsbetrag pro Kapitalbetrag pro Zeiteinheit wird oft als Zinssatz pro Zeiteinheit ausgedrückt (oft in %/Jahr oder %/Monat).
Es Fähigkeit zum Physikkonzept ist nur zu Zeiten definiert, in denen die kumulative Energie eine differenzierbare Funktion der Zeit ist. Ebenso ist der Preis pro Masseneinheit eines Produkts nur bei Massen definiert, bei denen der Gesamtpreis eine differenzierbare Funktion der Masse ist. In der Praxis ist dies oft nur annähernd der Fall, zum Beispiel weil nicht jede Masse verfügbar ist und die Preise nur wenige Cent betragen. Bei Mengenrabatten nach Massenkategorie kann es für jede Kategorie eine separate Menge „Preis pro Masseneinheit“ geben. Andere Größen sind die durchschnittliche Leistung in einem bestimmten Zeitintervall (Energie geteilt durch Dauer) mit derselben Dimension wie die Leistung zu einem bestimmten Zeitpunkt und analog für andere Mittelwerte.
Berechnungsregeln
Die Multiplikation der Mengen ist kommutativ und assoziativ. Es ist einfach nicht möglich, durch die "Nullmenge" zu dividieren (die sich z. B. mit Null mal einer Menge oder der Differenz zwischen zwei gleichen Mengen ergibt). Multiplikation und Division können mit diesen Eigenschaften auf die gleiche Weise wie mit Zahlen durchgeführt werden.
Zwei von Null verschiedene Größen haben genau dann die gleiche Dimension, wenn ihr Quotient eins ist dimensionslose Menge (also eine Zahl). Wenn ja, werden Addition und Subtraktion definiert. Die Addition ist kommutativ und assoziativ, und es gibt auch Verteilungsfähigkeit. Das bedeutet, dass alle grundlegenden Berechnungsregeln auch für Mengen gelten. Um eine Summe oder Differenz von Größen mit Hilfe der Distributivität zu vereinfachen, kann es notwendig sein, die Einheiten eines Termes in die des anderen Termes umzurechnen; Ein einfaches Beispiel ist: 1 Meter 5 Zentimeter = 1 Meter 0,05 Meter = (1 0,05) Meter = 1,05 Meter.
Sonstiges
Um die Einheit nicht immer in einer Tabellenspalte oder entlang der Achse eines Diagramms angeben zu müssen, können Sie als Bezeichnung „Länge in Metern“ oder „Rendite in Millionen Euro“ verwenden oder in kompakter Schreibweise mit ein Divisionszeichen: "Länge / Meter" oder "Umsatz / (1 Mio. €)".
Manchmal ist die Dimension einer Menge aus der Beschreibung nicht sofort ersichtlich und/oder die Einheit ist nicht vollständig angegeben. Es "Bruttoinlandsprodukt" (BIP) eines Landes eines benannten Jahres ist ein Betrag, und natürlich auch der Betrag pro Jahr; wenn kein Jahr angegeben ist, ist es der Betrag pro Jahr. Bei einem Lohn oder einer Miete kann es für Uneingeweihte sein ( Menschen, die die Konventionen und auch die Größenordnung nicht kennen) sind bei der Angabe eines Betrags, sei es pro Woche, pro Monat oder pro Jahr, schwer zu interpretieren.
Kohärente Einheiten
In einem zusammenhängenden Maßsystem unabhängige Dimensionen gelten als Basisdimensionen und der Rest als abgeleitete Dimensionen. Letztere sind dann das Produkt von Potenzen der Grunddimensionen. Nach Auswahl einer Reihenfolge der Grundmaße können die Maße dann durch a . gekennzeichnet werden -Tupel von Exponenten. Das Multiplizieren und Dividieren von Dimensionen entspricht dann dem Addieren und Subtrahieren der Tupel basierend auf der gewöhnlichen Addition in .
Bei einem zugehörigen kohärenten Einheitensystem kann eine Einheit für jede Basisdimension als Basiseinheit und die anderen Einheiten des Systems als abgeleitete Einheiten betrachtet werden. Diese sind dann ein Koeffizient mal das Produkt der Potenzen der Basiseinheiten, entsprechend dem Produkt der Potenzen der Basisdimensionen. Die Einheiten können dann durch den Koeffizienten und a Tupel von Exponenten. Das Multiplizieren und Dividieren von Einheiten entspricht dann dem Multiplizieren und Dividieren der Koeffizienten und dem Addieren und Subtrahieren der Tupel wie bei den Dimensionen.
Eine Einheit wird dann kohärent aufgerufen, wenn der Koeffizient 1 ist. Die zusammenhängenden Einheiten bilden zusammen mit den Grundeinheiten ein sogenanntes kohärentes Einheitensystem. Dies hat keinen Einfluss auf die Fähigkeit, mit Präfixen zu erstellen, die der Potenz von 10 zusätzlichen Einheiten entsprechen.
Ein Beispiel für eine Menge unabhängiger Dimensionen ist die des SI-Systems, ergänzt mit dem Dimensionsbetrag. Ein zugehöriges kohärentes Einheitensystem hat beispielsweise als kohärente Einheiten die des SI-Systems, ergänzt um den Euro.
Vektorielle Größen
EIN Vektor im physikalischen Sinne relativ zu a BaseKomponenten im Sinne von Vektoren, deren Summe der erstgenannte Vektor ist. Diese Komponenten haben untereinander die gleiche Dimension, die auch der Dimension des Vektors und seiner Größe entspricht. In einem Vektor im Sinne eines Mengentupels können diese Größen unterschiedliche Dimensionen haben.