WikiDer > Группоидный объект

Groupoid object

В теория категорий, раздел математики, группоидный объект в категории C допускающие конечное волокно - это пара объектов ${ displaystyle R, U}$ вместе с пятью морфизмы ${ displaystyle s, t: R к U, e: U to R, m: R times _ {U, t, s} R to R, i: R to R}$ удовлетворяющие следующим аксиомам группоидов

${ Displaystyle s circ e = t circ e = 1_ {U}, , s circ m = s circ p_ {1}, t circ m = t circ p_ {2}}$ где ${ displaystyle p_ {i}: R times _ {U, t, s} R to R}$ это две проекции,
(ассоциативность) ${ displaystyle m circ (1_ {R} times m) = m circ (m times 1_ {R}),}$
(единица измерения) ${ Displaystyle м circ (е circ s, 1_ {R}) = m circ (1_ {R}, e circ t) = 1_ {R},}$
(обратный) ${ displaystyle i circ i = 1_ {R}}$ , ${ Displaystyle s circ я = t, , t circ i = s}$ , ${ displaystyle m circ (1_ {R}, i) = e circ s, , m circ (i, 1_ {R}) = e circ t}$ .^[1]

А групповой объект частный случай группоидный объект.

Примеры

Пример: Группоидный объект в категории множеств - это в точности группоид в обычном смысле: категория, в которой каждый морфизм является изоморфизмом. Действительно, учитывая такую категорию C, брать U быть набором всех объектов в C, р набор всех стрелок в C, пять морфизмов, задаваемых ${ Displaystyle s (х к у) = х, , т (х к у) = у}$ , ${ Displaystyle м (е, г) = г сирк е}$ , ${ Displaystyle е (х) = 1_ {х}}$ и ${ Displaystyle я (е) = е ^ {- 1}}$ .

Кстати, можно рассмотреть понятие полугруппоида (унитальная полугруппа = категория с одним объектом); но, согласно этому примеру, это не что иное, как категория; поэтому группоидный объект на самом деле является частным случаем «объекта категории», более известного как куча (или же предварительное суммирование).

А группоид S-схема является группоидным объектом в категории схемы по некоторой фиксированной базовой схеме S. Если ${ Displaystyle U = S}$ , то группоидная схема (где ${ displaystyle s = t}$ обязательно структурная карта) совпадает с групповая схема. Группоидную схему также называют алгебраический группоид, например в (Gillet 1984), чтобы передать идею, это обобщение алгебраические группы и их действия. Когда термин «группоид» может естественным образом относиться к группоидному объекту в некоторой определенной категории в уме, термин группоидный набор используется для ссылки на объект группоида в категории множеств.

Пример: Предположим, что алгебраическая группа грамм действует справа на схеме U. А затем взять ${ Displaystyle R = U times G}$ , s проекция, т данное действие. Это определяет схему группоида.

Строительство

Учитывая группоидный объект (р, U), эквалайзер ${ Displaystyle R { overset {s} { underset {t} { rightrightarrows}}} U}$ , если есть, является групповым объектом, называемым группа инерции группоида. Коэквалайзер той же диаграммы, если таковой имеется, является частным от группоида.

Каждый объект группоида в категории C (если есть) может рассматриваться как контравариантный функтор из C в категорию группоидов. Таким образом, каждый объект группоида определяет предварительное суммирование у группоидов. Этот предварительный стек не является стеком, но его можно сложенный чтобы получить стопку.

Основное использование этого понятия заключается в том, что оно обеспечивает атлас для куча. В частности, пусть ${ displaystyle [R rightrightarrows U]}$ быть категорией ${ Displaystyle (R rightrightarrows U)}$ -торсоры. Тогда это категория, расслоенная в группоидах; на самом деле (в хорошем случае) Стек Делин-Мамфорд. И наоборот, любой стек DM имеет такую форму.