WikiDer > Теорема Хадвигерса - Википедия

Hadwigers theorem - Wikipedia

В интегральная геометрия (иначе называемая геометрической теорией вероятностей), Теорема Хадвигера характеризует оценки на выпуклые тела в рп. Это было доказано Хьюго Хадвигер.

Вступление

Оценки

Позволять Kп - совокупность всех компактных выпуклых множеств в рп. А оценка это функция v:Kп → р такой, что v(∅) = 0 и для каждого S,Т ∈Kп для которого SТKп,

Оценка называется непрерывной, если она непрерывна относительно Метрика Хаусдорфа. Оценка называется инвариантной относительно жестких движений, если v(φ(S)) = v(S) в любое время S ∈ Kп и φ является либо перевод или вращение из рп.

Квермассинтегралы

Квермассинтегралы WjKп → р определяются по формуле Штейнера

куда B - евклидов шар. Например, W0 объем, W1 пропорционально измерение поверхности, Wп-1 пропорционально средняя ширина, и Wп постоянная Volп(B).

Wj это оценка, которая однородный степени п-j, то есть,

Заявление

Любая непрерывная оценка v на Kп инвариантное относительно жестких движений можно представить в виде

Следствие

Любая непрерывная оценка v на Kп инвариантный относительно жестких движений и однородный степени j кратно Wп-j.

Рекомендации

Изложение и доказательство теоремы Хадвигера можно найти в

  • Klain, D.A .; Рота, Г.-К. (1997). Введение в геометрическую вероятность. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-59362-X. МИСТЕР 1608265.

Элементарное и замкнутое доказательство было дано Бейфаном Ченом в