WikiDer > Проблема моментов гамбургера

Hamburger moment problem

В математика, то Гамбургер проблема момента, названный в честь Ганс Людвиг Гамбургер, формулируется следующим образом: по последовательности {мп : п = 0, 1, 2, 3, ...}, существует ли положительный Мера Бореля μ (например, мера, определяемая кумулятивная функция распределения из случайная переменная) на прямой такой, что

Другими словами, положительный ответ на проблему означает, что {мп : п = 0, 1, 2, ...} - последовательность моменты положительной борелевской мерыμ.

В Проблема моментов Стилтьеса, Проблема моментов Воробьева, а Проблема моментов Хаусдорфа похожи, но замените реальную строку на (Стилтьес и Воробьев; но Воробьев формулирует проблему в терминах теории матриц) или ограниченный интервал (Хаусдорф).

Характеристика

Проблема моментов Гамбургера разрешима (т. Е. {мп} представляет собой последовательность моменты) тогда и только тогда, когда соответствующее ядро ​​Ганкеля на неотрицательных целых числах

является положительно определенный, т.е.

для любой произвольной последовательности {cj}j ≥ 0 комплексных чисел с конечным носителем (т.е. cj = 0 за исключением конечного числа значенийj).

В части претензий "только если" просто отметьте, что

что неотрицательно, если неотрицательно.

Мы набросаем аргумент в пользу обратного. Позволять Z+ быть неотрицательными целыми числами и F0(Z+) обозначают семейство комплекснозначных последовательностей с конечным носителем. Положительное ядро ​​Ганкеля А индуцирует (возможно, вырожденный) полуторалинейный произведение на семействе комплекснозначных последовательностей с конечным носителем. Это, в свою очередь, дает Гильбертово пространство

типичным элементом которого является класс эквивалентности, обозначаемый [ж].

Позволять еп быть элементом в F0(Z+) определяется еп(м) = δнм. Замечает, что

Следовательно оператор "смены" Т на , с Т[еп] = [еп + 1], является симметричный.

С другой стороны, желаемое выражение

предполагает, что μ это спектральная мера из самосопряженный оператор. (Точнее говоря, μ спектральная мера оператора определенный ниже, и вектор [1], (Рид и Саймон 1975, п. 145)). Если мы сможем найти такую ​​«функциональную модель», что симметричный оператор Т является умножение наИкс, то спектральное разрешение самосопряженное расширение из Т доказывает иск.

Функциональная модель задается естественным изоморфизмом из F0(Z+) к семейству многочленов от одной действительной переменной и комплексных коэффициентов: для п ≥ 0, идентифицировать еп с Иксп. В модели оператор Т это умножение на Икс и плотно определенный симметричный оператор. Можно показать, что Т всегда имеет самосопряженные расширения. Позволять быть одним из них и μ - его спектральная мера. Так

С другой стороны,

Для альтернативного доказательства существования, использующего только интегралы Стилтьеса, см. Также:[1] в частности теорема 3.2.

Уникальность решений

Решения образуют выпуклое множество, поэтому задача имеет либо бесконечно много решений, либо единственное решение.

Рассмотрим (п + 1)×(п + 1) Матрица Ганкеля

Позитивность А означает, что для каждого п, det (Δп) ≥ 0. Если det (Δп) = 0, для некоторыхп, тогда

конечномерна и Т самосопряженный. Таким образом, в этом случае решение проблемы моментов Гамбургера уникально и μ, являясь спектральной мерой Т, имеет конечную опору.

В общем, решение уникально, если есть константы C и D такой, что для всех п, | мп|≤ CDпп! (Рид и Саймон 1975, п. 205). Это следует из более общего Состояние Карлемана.

Есть примеры, в которых решение не является уникальным, см., Например,[2]

Дальнейшие результаты

Можно видеть, что проблема моментов Гамбургера тесно связана с ортогональные многочлены на реальной линии. В Грам – Шмидт Процедура дает основу ортогональных многочленов, в которой оператор: имеет трехдиагональную Представление матрицы Якоби. Это, в свою очередь, приводит к трехдиагональная модель положительных ядер Ганкеля.

Явный расчет Преобразование Кэли из Т показывает связь с тем, что называется Неванлинна класс аналитических функций в левой полуплоскости. Переходя к некоммутативной установке, это мотивирует Формула Крейна который параметризует расширения частичных изометрий.

Кумулятивную функцию распределения и функцию плотности вероятности часто можно найти, применив обратный Преобразование Лапласа к моменту производящей функции

при условии, что эта функция сходится.

Рекомендации

  • Чихара, Т. (1978), Введение в ортогональные многочлены, Гордон и Брич, Научное издательство, ISBN 0-677-04150-0
  • Рид, Майкл; Саймон, Барри (1975), Фурье-анализ, самосопряженность, Методы современной математической физики, 2, Academic Press, стр. 145, 205, ISBN 0-12-585002-6
  • Shohat, J. A .; Тамаркин, Дж. Д. (1943), Проблема моментов, Нью-Йорк: Американское математическое общество, ISBN 0-8218-1501-6.