WikiDer > Цепь Харриса

Harris chain

В математическом исследовании случайные процессы, а Цепь Харриса это Цепь Маркова где цепочка возвращается в определенную часть пространства состояний неограниченное количество раз.[1] Цепи Харриса регенеративные процессы и названы в честь Теодор Харрис. Теория цепей Харриса и рекуррентности Харриса полезна для рассмотрения цепей Маркова на общих (возможно, несчетно бесконечных) пространствах состояний.

Определение

Позволять {Иксп} быть Цепь Маркова на общем пространстве состояний Ω с стохастическое ядро K. Ядро представляет собой обобщенный закон вероятности одношагового перехода, так что P [Иксп+1C | Иксп = Икс] = K(Икс, C) для всех состояний Икс в Ω и всех измеримых множествах C ⊆ Ω. Цепь {Иксп} это Цепь Харриса[2] если существует А ⊆ Ω, ϵ > 0 и вероятностная мера ρ с ρ(Ω) = 1 такое, что

  1. Если τА : = inf {п ≥ 0 : ИкспА}, то P (τА < ∞ | Икс0 = Икс) = 1 для всех Икс ∈ Ω.
  2. Если ИксА и C ⊆ Ω (где C измеримо), то K(Икс, C) ≥ ερ(C).

Первая часть определения гарантирует, что цепочка вернется в некоторое состояние в пределах А с вероятностью 1 независимо от того, где он начинается. Отсюда следует, что он посещает государство А бесконечно часто (с вероятностью 1). Вторая часть подразумевает, что как только цепь Маркова находится в состоянии А, его следующее состояние может быть сгенерировано с помощью независимого подбрасывания монеты Бернулли. Чтобы убедиться в этом, сначала обратите внимание, что параметр ε должен быть между 0 и 1 (это можно показать, применив вторую часть определения к множеству C = Ω). Теперь позвольте Икс быть точкой в А и предположим Иксп = Икс. Чтобы выбрать следующее состояние Иксп+1, самостоятельно подбросить смещенную монету с вероятностью успеха ϵ. Если подбрасывание монеты прошло успешно, выберите следующее состояние. Иксп+1 ∈ Ω согласно вероятностной мере ρ. Иначе (и если ϵ <1), выберите следующее состояние Иксп+1 по мере P [Иксп+1C | Иксп = Икс] = (K(Икс, C) − ερ(C))/(1 − ε) (определенная для всех измеримых подмножествC ⊆ Ω).

Два случайных процесса {Иксп} и {Yп}, которые имеют одинаковый вероятностный закон и являются цепями Харриса в соответствии с приведенным выше определением, могут быть связаны следующим образом: Предположим, что Иксп=Икс и Yп = у, куда Икс и у точки в А. Используя один и тот же подбрасывание монеты для определения следующего состояния обоих процессов, следует, что следующие состояния совпадают с вероятностью не менее ε.

Примеры

Пример 1: счетное пространство состояний

Пусть Ω - счетное пространство состояний. Ядро K определяется одношаговыми условными переходными вероятностями P [Иксп+1 = у | Иксп = Икс] за Икс,у ∈ Ω. Мера ρ является функцией вероятности масс на состояниях, так что ρ(Икс) ≥ 0 для всех Икс ∈ Ω, а сумма ρ(x) вероятность равна единице. Предположим, что приведенное выше определение выполняется для данного множества А ⊆ Ω и заданный параметр ε> 0. Тогда P [Иксп+1 = c | Иксп = Икс] ≥ ερ(c) для всех ИксА и все c ∈ Ω.

Пример 2: Цепи с непрерывной плотностью

Позволять {Иксп}, Икспрd быть Цепь Маркова с ядро то есть абсолютно непрерывный относительно Мера Лебега:

K(Икс, dy) = K(Икс, уdy

такой, что K(Икс, у) это непрерывная функция.

Выбирать (Икс0у0) такие, что K(Икс0у0 )> 0, и пусть А и Ω быть открытые наборы содержащий Икс0 и у0 соответственно, которые достаточно малы, чтобы K(Иксу) ≥ ε > 0 на А × Ω. Сдача ρ(C) = | Ω ∩C| / | Ω | где | Ω | это Мера Лебега области Ω имеем, что (2) в приведенном выше определении выполняется. Если выполнено (1), то {Иксп} - это цепь Харриса.

Сводимость и периодичность

В следующих, р : = inf {п ≥ 1 : ИкспА}; т.е. р это первый раз после времени 0, когда процесс входит в область А.

Определение: Если для всех L(Икс0), п(р < ∞ | Икс0А) = 1, то цепь Харриса называется повторяющийся.

Определение: Повторяющаяся цепь Харриса Иксп является апериодический если ∃N, такие что ∀пN, ∀L(Икс0), П(ИкспА | Икс0А) > 0.

Теорема: Позволять Иксп - апериодическая рекуррентная цепь Харриса со стационарным распределением π. Если P (р < ∞ | Икс0 = Икс) = 1, то при п → ∞, расст.телевидение (L(Иксп | Икс0 = Икс), π) → 0.

Рекомендации

  1. ^ Асмуссен, Сорен (2003). «Дальнейшие темы теории обновления и регенеративных процессов». Прикладная вероятность и очереди. Стохастическое моделирование и прикладная вероятность. 51. С. 186–219. Дои:10.1007/0-387-21525-5_7. ISBN 978-0-387-00211-8.
  2. ^ Р. Дарретт. Вероятность: теория и примеры. Томсон, 2005. ISBN 0-534-42441-4.