WikiDer > Теорема Гартогса – Розенталя

Hartogs–Rosenthal theorem

В математика, то Теорема Гартогса – Розенталя классический результат комплексный анализ на равномерное приближение непрерывных функций на компактных подмножествах комплексная плоскость к рациональные функции. Теорема была доказана в 1931 году немецкими математиками. Фридрих Хартогс и Артур Розенталь и широко применяется, особенно в теория операторов.

Заявление

Теорема Хартогса – Розенталя утверждает, что если K компактное подмножество комплексной плоскости с Мера Лебега нуля, то любая непрерывная комплекснозначная функция на K можно равномерно аппроксимировать рациональными функциями.

Доказательство

Посредством Теорема Стоуна – Вейерштрасса любая комплекснозначная непрерывная функция на K можно равномерно аппроксимировать полиномом от и .

Итак, достаточно показать, что можно равномерно аппроксимировать рациональной функцией на K.

Позволять г (г) быть гладкая функция компактной опоры на C равно 1 на K и установить

Посредством обобщенная интегральная формула Коши

поскольку K имеет нулевую меру.

Ограничение z к K и принимая Приближающие суммы Римана для интеграла в правой части дает требуемую равномерную аппроксимацию рациональной функцией.[1]

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

  • Конвей, Джон Б. (1995), Функции одной комплексной переменной II, Тексты для выпускников по математике, 159, Springer, стр. 197, ISBN 0387944605
  • Конвей, Джон Б. (2000), Курс теории операторов, Аспирантура по математике, 21, Американское математическое общество, стр. 175–176, ISBN 0821820656
  • Гамлен, Теодор В. (2005), Равномерные алгебры (2-е изд.), Американское математическое общество, стр. 46–47, ISBN 0821840495
  • Хартогс, Фридрихс; Розенталь, Артур (1931), "Über Folgen analytischer Funktionen", Mathematische Annalen, 104: 606–610, Дои:10.1007 / bf01457959