WikiDer > Heegner-Nummer

In dem algebraische Zahlentheorie, eine Unterregion der Mathematik, ist ein Heegner-Nummer ein positives, quadratfreie ganze Zahl${displaystyle d}$, so dass das imaginäre quadratisches Feld${displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {-d}})}$ ein Klassennummer von 1. hat. Äquivalent dazu ist, dass die Ring aus ganzen Zahlen von ${displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {-d}})}$ ein einzigartige Faktorisierungsdomäne hast.^[1]

Die Bestimmung solcher Zahlen ist ein Spezialfall der Klassennummernproblem. Den Heegner-Zahlen liegen mehrere auffallende Ergebnisse in der Zahlentheorie.

Laut der Satz von Stark-Heegner es gibt genau neun Heegner-Zahlen:

1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163.

Dieses Ergebnis wurde bereits vermutet von Gauss und wurde 1952 bewährt durch Kurt Heegner.

Eulers primerzeugendes Polynomnom

Eulers primerzeugendes Polynomnom

${Anzeigestil n^{2} n 41,,}$

das gibt (verschiedene) Primzahlen für nein = 0, ...,39, bezieht sich auf die Heegner-Zahl 163 = 4 41 - 1.

Rabinowitz^[2] geprüft, dass

${displaystyle n^{2}np,}$

Primzahlen repräsentiert ${Anzeigestil n=0,Punkte,p-2}$dann und nur dann, wenn das diskriminierend${Anzeigestil 1-4p}$ gleich minus einer Heegner-Zahl.

(Beachten Sie, dass ${Anzeigestil p-1}$ Hier ${displaystyle p^{2}}$ ergibt und das ${Anzeigestil p-2}$ also maximal.) 1, 2 und 3 haben nicht die erforderliche Form. Die Heegner-Zahlen, die funktionieren, sind ${Displaystil 7,11,19,43,67,163}$, die Primzahlen erzeugende Funktionen der Euler-Form für ${Anzeigestil 2,3,5,11,17,41}$; diese letzten Zahlen sind von F. Le LionnaisEulers Glückszahlen erwähnt.^[3].

Fußnoten

Externe Links

• (und) Heegner-Nummer auf MathWorld
• (und) Gaußsches Klassenzahlproblem für imaginäre quadratische Körper von Dorian Goldfeld: Detaillierte Geschichte des Problems.