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EIN Nilpferd (Altgriechisch ἱπποπέδη, Pferdehütte) ist eine ebene geometrische Figur, die von a . erstellt wurde torus sich mit einer Ebene parallel zur Achse des Toroids schneidet und den Torus definiert schneidet. Die Figur wurde bereits in der Antike von untersucht Eudoxus von Knidos und Proclus Diadohus.

Konstruktion

Ein Nilpferd entsteht, wenn ein Torus an einem Punkt auf dem inneren Kreis des Torus eine Tangentialebene schneidet.

Ein Torus ist eine räumliche Figur, die durch einen Kreis mit Radius . entsteht ${displaystyle r}$ um eine Linie zu drehen, die in derselben Ebene wie der Kreis liegt. Angenommen, der Abstand vom Mittelpunkt dieses Kreises zu der Linie, um die er sich dreht, ist gleich ${Displaystil R.}$ Für den Fall, dass ${Anzeigestil R>r}$ erschafft einen Torus, eine Figur in Form von a Krapfen. Der Punkt auf dem Kreis, der der Linie am nächsten liegt, beschreibt eine Kreisbahn, den inneren Kreis des Torus. Es hat also einen Radius ${Anzeigestil R-r.}$ Wenn an einem Punkt auf diesem inneren Kreis die Schnittstelle betrachtet, schneidet diese Schnittstelle den Torus mehr oder weniger in Form einer Acht. Dieser Querschnitt ist ein Nilpferd. wenn man ${Anzeigestil R}$ nimmt ab, die zentrale Öffnung des Torus wird kleiner und verschwindet im Moment ${Anzeigestil R=r.}$ Für den Fall, dass ${Displaystil R$ der Torus schneidet sich selbst. Aber auch in diesen Fällen kann ein Nilpferd auf die gleiche Weise konstruiert werden.

Im Polar Koordinaten ist die Gleichung:

${Anzeigestil r^{2}(heta)=4R(r-Rsin^{2}(heta))}$

Im Kartesischen Koordinaten ist das Nilpferd, das von der . unterrichtet wird implizite Funktion:

${Anzeigestil (x^{2} y^{2})^{2} 4R(R-r)(x^{2} y^{2})=4R^{2}x^{2}}$

Mögliche Formen

Verschiedene Formen von Nilpferden: oben Nilpferde, die aus einem Torus mit einer zentralen Öffnung hervorgehen, unten Nilpferde, die aus einem selbstschneidenden Torus hervorgehen. Der Grenzfall zwischen den beiden Figuren ist das Nilpferd bestehend aus zwei tangentialen Kreisen, rot gezeichnet.

Die Form des Nilpferdes wird durch das Verhältnis R/r bestimmt. Zum Beispiel auf der Figur mit der Konstruktion ${Anzeigestil R>r}$ so dass das Verhältnis R/r > 1 ist. Die Tangentialebene an einem Punkt des inneren Kreises schneidet den Torus in einer Acht.

• Für den Fall, dass ${Displaystil R/r>1}$ das Nilpferd hat die Form einer Acht. Der Winkel, unter dem sich die Acht in ihrem Zentrum schneidet, nimmt ab als ${displaystyle R/r}$ ist größer. Für den Fall, dass ${Anzeigestil R/r=2}$ ist es das nilpferd Lemniskate von Bernoulli.
• Für den Fall, dass ${Anzeigestil R/r=1}$ das Nilpferd besteht aus zwei Tangentenkreisen mit Radius ${Anzeigestil r.}$
• Für den Fall, dass ${Anzeigestil R/r<1}$ das Nilpferd besteht aus einer einzigen Schlaufe, die sich nicht mehr selbst schneidet. Wie ${Anzeigestil R/r}$ kleiner, die Vertiefung oben und unten wird kleiner und verschwindet bei ${Anzeigestil R/r=1/2}$ Das Nilpferd entwickelt sich dann zu einer abnehmenden ovalen Form und wird schließlich zu einem Punkt, wenn ${Anzeigestil R/r=0.}$

Bei jeder Wahl seiner Parameter ist das Nilpferd in Bezug auf die x-Achse, die y-Achse und den Ursprung (0,0) symmetrisch.