WikiDer > Неравенство Хитчина – Торпа

В дифференциальная геометрия то Неравенство Хитчина – Торпа является отношением, ограничивающим топологию 4-коллектор которые несут Метрика Эйнштейна.

Утверждение неравенства Хитчина – Торпа.

Позволять M быть закрыто, ориентированный, четырехмерный гладкое многообразие. Если существует Риманова метрика на M который является Метрика Эйнштейна, тогда

${displaystyle chi (M) geq {frac {3} {2}} | au (M) |,}$

куда χ (M) это Эйлерова характеристика из M и τ (M) это подпись из M. Это неравенство впервые было заявлено Джоном Торпом в сноске к статье 1969 года, посвященной многообразиям более высокой размерности.^[1] Найджел Хитчин затем заново открыл неравенство и дал полную характеристику случая равенства в 1974 году;^[2] он обнаружил, что если (M, грамм) является многообразием Эйнштейна, для которого получено равенство в неравенстве Хитчина-Торпа, то Кривизна Риччи из грамм равно нулю; если секционная кривизна тождественно не равна нулю, то (M, грамм) это Многообразие Калаби – Яу чей универсальный чехол это K3 поверхность.

Доказательство

Позволять (M, грамм) - четырехмерное гладкое риманово многообразие Эйнштейна. Учитывая любую точку п из M, существует грамм_п-ортонормальный базис е₁, е₂, е₃, е₄ касательного пространства Т_пM такой, что оператор кривизны Rm_п, которое представляет собой симметричное линейное отображение ∧²Т_пM в себя, имеет матрицу

${displaystyle {egin {pmatrix} lambda _ {1} & 0 & 0 & mu _ {1} & 0 & 0 0 & lambda _ {2} & 0 & 0 & mu _ {2} & 0 0 & 0 & lambda _ {3} & 0 & 0 & mu _ {3} mu _ {1} & 0 & 0 & lambda _ { 1} & 0 & 0 0 & mu _ {2} & 0 & 0 & lambda _ {2} & 0 0 & 0 & mu _ {3} & 0 & 0 & lambda _ {3} end {pmatrix}}}$

относительно основы е₁ ∧ е₂, е₁ ∧ е₃, е₁ ∧ е₄, е₃ ∧ е₄, е₄ ∧ е₂, е₂ ∧ е₃. У одного есть это μ₁ + μ₂ + μ₃ равен нулю и что λ₁ + λ₂ + λ₃ одна четвертая часть скалярная кривизна из грамм в п. Кроме того, в условиях λ₁ ≤ λ₂ ≤ λ₃ и μ₁ ≤ μ₂ ≤ μ₃, каждая из этих шести функций определяется однозначно и определяет непрерывную действительную функцию на M.

В соответствии с Теория Черна-Вейля, если M ориентирована, то эйлерова характеристика и сигнатура M можно вычислить

${displaystyle {egin {выравнивается} чи (M) & = {frac {1} {4pi ^ {2}}} int _ {M} {ig (} lambda _ {1} ^ {2} + lambda _ {2} ^ {2} + лямбда _ {3} ^ {2} + mu _ {1} ^ {2} + mu _ {2} ^ {2} + mu _ {3} ^ {2} {ig)}, dmu _ {g} au (M) & = {frac {1} {3pi ^ {2}}} int _ {M} {ig (} lambda _ {1} mu _ {1} + lambda _ {2} mu _ {2} + lambda _ {3} mu _ {3} {ig)}, dmu _ {g} .end {выровнено}}}$

С помощью этих инструментов неравенство Хитчина-Торпа составляет элементарное наблюдение.

${displaystyle lambda _ {1} ^ {2} + lambda _ {2} ^ {2} + lambda _ {3} ^ {2} + mu _ {1} ^ {2} + mu _ {2} ^ {2 } + mu _ {3} ^ {2} = underbrace {(lambda _ {1} -mu _ {1}) ^ {2} + (lambda _ {2} -mu _ {2}) ^ {2} + (лямбда _ {3} -му _ {3}) ^ {2}} _ {geq 0} +2 {ig (} лямбда _ {1} му _ {1} + лямбда _ {2} му _ {2} + лямбда _ {3} mu _ {3} {ig)}.}$

Неудача обратного

Возникает естественный вопрос: обеспечивает ли неравенство Хитчина – Торпа достаточное условие за существование метрики Эйнштейна. В 1995 г. Клод ЛеБрун и Андреа Самбусетти независимо показали, что ответ отрицательный: существует бесконечно много негомеоморфных компактных гладких ориентированных 4-многообразий. M которые не содержат метрик Эйнштейна, но тем не менее удовлетворяют

${displaystyle chi (M)> {frac {3} {2}} | au (M) |.}$

Примеры ЛеБруна на самом деле односвязны, и соответствующее препятствие зависит от гладкой структуры многообразия.^[3] Напротив, препятствие Самбусетти применимо только к 4-многообразиям с бесконечной фундаментальной группой, но оценка объема-энтропии, которую он использует для доказательства несуществования, зависит только от гомотопического типа многообразия.^[4]

Сноски

Рекомендации

• Бессе, Артур Л. (1987). Многообразия Эйнштейна. Классика по математике. Берлин: Springer. ISBN 3-540-74120-8.