WikiDer > Метод Холма – Бонферрони

Holm–Bonferroni method

В статистика, то Метод Холма – Бонферрони,[1] также называется Метод Холма или же Метод Бонферрони – Холма, используется для противодействия проблеме множественные сравнения. Он предназначен для управления частота ошибок в семье и предлагает простой тест равномерно более мощный чем Коррекция Бонферрони. Он назван в честь Стуре Хольм, который кодифицировал метод, и Карло Эмилио Бонферрони.

Мотивация

При рассмотрении нескольких гипотез проблема множественность возникает: чем больше проверяется гипотез, тем выше вероятность получения Ошибки типа I (ложные срабатывания). Метод Холма – Бонферрони - один из многих подходов к управлению частота ошибок в семье (вероятность возникновения одной или нескольких ошибок типа I) путем корректировки критериев отклонения для каждой из отдельных гипотез.[нужна цитата]

Формулировка

Метод заключается в следующем:

  • Предположим, у вас есть p-значения, отсортированные от наименьшего к наибольшему , и соответствующие им гипотезы . Вы хотите, чтобы уровень ошибок в семье не превышал заранее заданный уровень значимости .
  • Является ? Если да, отклоните и переходите к следующему шагу, иначе ВЫЙТИ.
  • Является ? Если да, отклонить также и переходите к следующему шагу, иначе ВЫЙТИ.
  • И так далее: для каждого значения P проверьте, . Если да, отклонить и продолжайте исследовать большие значения P, в противном случае ВЫЙТИ.

Этот метод гарантирует, что частота ошибок в семье.

Обоснование

Простой Коррекция Бонферрони отклоняет только нулевые гипотезы с п-значение меньше чем , чтобы гарантировать, что риск отклонения одной или нескольких истинных нулевых гипотез (т. е. совершения одной или нескольких ошибок типа I) не превышает . Стоимость этой защиты от ошибок типа I заключается в повышенном риске отказа от отклонения одной или нескольких ложных нулевых гипотез (т. Е. Совершения одной или нескольких ошибок типа II).

Метод Холма – Бонферрони также контролирует максимальную частоту ошибок семейства при , но с меньшим увеличением риска ошибки типа II, чем классический метод Бонферрони. Метод Холма – Бонферрони сортирует п-значения от самого низкого до самого высокого и сравнивает их с номинальными альфа-уровнями к (соответственно), а именно значения .

  • Индекс определяет первый п-значение, которое нет достаточно низкий, чтобы подтвердить отказ. Следовательно, нулевые гипотезы отклоняются, а нулевые гипотезы принимаются (не отклоняются).
  • Если Тогда нет п-значения были достаточно низкими для отклонения, поэтому никакие нулевые гипотезы не отклоняются (т.е. принимаются все нулевые гипотезы).
  • Если такого индекса нет можно было найти тогда все п-значения были достаточно низкими для отклонения, поэтому все нулевые гипотезы отклоняются (ни одна не принимается).

Доказательство

Холм-Бонферрони управляет FWER следующим образом. Позволять быть семьей гипотез, и быть отсортированными p-значениями. Позволять - набор индексов, соответствующих (неизвестным) истинным нулевым гипотезам, имеющим члены.

Предположим, что мы ошибочно отвергаем истинную гипотезу. Мы должны доказать, что вероятность этого события не более . Позволять быть первой отвергнутой истинной гипотезой (первой в порядке, заданном тестом Бонферрони – Холма). потом все отвергают ложные гипотезы и . Оттуда мы получаем (1). С отклонено у нас есть по определению теста. Используя (1), правая часть не превосходит . Таким образом, если мы ошибочно отвергаем истинную гипотезу, должна существовать истинная гипотеза с P-значением не более .

Итак, давайте определим случайную величину . Каким бы ни был (неизвестный) набор истинных гипотез есть, у нас есть (посредством Неравенства Бонферрони). Следовательно, вероятность отвергнуть истинную гипотезу не более .

Альтернативное доказательство

Метод Холма – Бонферрони можно рассматривать как закрытая процедура тестирования,[2] с методом Бонферрони, применяемым локально на каждом пересечении нулевых гипотез. частота ошибок в семье для всех k гипотезы на уровне α в сильном смысле. Каждое пересечение проверяется с помощью простого теста Бонферрони.

Это сокращенная процедура поскольку практически количество сравнений, которое необходимо сделать, равно или меньше, в то время как количество всех пересечений нулевых гипотез, подлежащих проверке, порядка .

Принцип замыкания гласит, что гипотеза в семье гипотез отклоняется - при контроле уровня ошибок в семье - тогда и только тогда, когда все подсемейства пересечений с контролируются на уровне семейных ошибок .

В процедуре Холма – Бонферрони мы сначала проверяем . Если он не отклонен, то пересечение всех нулевых гипотез также не отклоняется, так что существует хотя бы одна гипотеза пересечения для каждой из элементарных гипотез это не отвергается, поэтому мы не отвергаем ни одну из элементарных гипотез.

Если отклоняется на уровне тогда все подсемейства пересечений, которые его содержат, также отклоняются, таким образом отклонено. Это потому, что является наименьшим в каждом из подсемейств пересечений, а размер подсемейств является наибольшим , такой, что порог Бонферрони больше, чем .

То же самое обоснование применяется для . Однако, поскольку уже отклонены, достаточно отклонить все подсемейства пересечений без . Один раз содержит все пересечения, содержащие отклоняются.

То же самое относится к каждому .

Пример

Рассмотрим четыре нулевые гипотезы с нескорректированными p-значениями , , и , для проверки на уровне значимости . Поскольку процедура пошаговая, сначала проверяем , имеющая наименьшее p-значение . Значение p сравнивается с , нулевая гипотеза отклоняется, и мы переходим к следующей. С мы отвергаем а так и продолжаем. Следующая гипотеза не отклоняется, так как . Прекращаем тестирование и делаем вывод, что и отклонены и и не отклоняются при контроле уровня ошибок в семье на уровне . Обратите внимание, что хотя применяется, является нет отклоненный. Это связано с тем, что процедура тестирования останавливается, как только происходит отказ от отказа.

Расширения

Метод Хольма – Шидака

Когда проверки гипотез не имеют отрицательной зависимости, можно заменить с:

в результате получился немного более мощный тест.

Взвешенная версия

Позволять быть упорядоченными нескорректированными p-значениями. Позволять , соответствуют . Отклонять так долго как

Скорректировано п-значения

Скорректированный п-значения для метода Холма – Бонферрони:

В предыдущем примере скорректированный п-значения , , и . Только гипотезы и отклоняются на уровне .

Взвешенная скорректированная п-значения:[нужна цитата]

Гипотеза отклоняется на уровне α тогда и только тогда, когда п-значение меньше α. В предыдущем примере с использованием равных весов скорректированный п-значения 0,03, 0,06, 0,06 и 0,02. Это еще один способ увидеть, что при α = 0,05 только первая и четвертая гипотезы отклоняются этой процедурой.

Альтернативы и использование

Метод Холма – Бонферрони «равномерно» мощнее классического Коррекция Бонферрони, что означает, что он всегда по крайней мере такой же мощный.

Существуют и другие методы управления частотой ошибок в семье, которые более эффективны, чем методы Холма – Бонферрони. Например, в Процедура Хохберга, отказ от производится после нахождения максимальный индекс такой, что . Таким образом, процедура Хохберга более мощная, чем процедура Холма. Однако процедура Хохберга требует, чтобы гипотезы были независимый или при определенных формах положительной зависимости, тогда как Холм – Бонферрони может применяться без таких предположений. Похожая пошаговая процедура - это процедура Хоммеля, которая неизменно более мощная, чем процедура Хохберга.[3]

Именование

Карло Эмилио Бонферрони не принимал участия в изобретении описанного здесь метода. Изначально Хольм называл этот метод «последовательно отвергающим тестом Бонферрони», и лишь через некоторое время он стал известен как Хольм – Бонферрони. Мотивы, по которым Холм назвал свой метод в честь Бонферрони, объясняются в оригинальной статье:«Использование неравенства Буля в теории множественного вывода обычно называется техникой Бонферрони, и по этой причине мы будем называть наш тест последовательно отклоняемым тестом Бонферрони».

Рекомендации

  1. ^ Холм, С. (1979). «Простая процедура последовательного множественного отбора». Скандинавский статистический журнал. 6 (2): 65–70. JSTOR 4615733. МИСТЕР 0538597.
  2. ^ Marcus, R .; Peritz, E .; Габриэль, К. Р. (1976). «О процедурах закрытого тестирования с особым упором на заказной дисперсионный анализ». Биометрика. 63 (3): 655–660. Дои:10.1093 / biomet / 63.3.655.
  3. ^ Хоммель, Г. (1988). «Поэтапная процедура многократного отклонения на основе модифицированного теста Бонферрони». Биометрика. 75 (2): 383–386. Дои:10.1093 / biomet / 75.2.383. HDL:2027.42/149272. ISSN 0006-3444.