WikiDer > Голономные ограничения

Holonomic constraints

В классическая механика, голономные ограничения отношения между переменными положения (и, возможно, временем[1]), который можно выразить в следующей форме:

куда являются п обобщенные координаты которые описывают систему. Например, движение частицы, вынужденной лежать на поверхности сфера подчиняется голономной связи, но если частица может упасть со сферы под действием силы тяжести, связь становится неголономной. В первом случае голономная связь может быть задана уравнением:

куда это расстояние от центра сферы радиуса , тогда как второй неголономный случай может быть задан следующим образом:

Ограничения, зависящие от скорости, такие как:

обычно не голономны.[нужна цитата]

Голономная система (физика)

В классическая механика систему можно определить как голономный если все связи системы голономны. Чтобы ограничение было голономным, оно должно быть выражено как функция:

т.е. голономная связь зависит только от координат и время .[1] Он не зависит от скоростей или какой-либо производной более высокого порядка пот. Ограничение, которое не может быть выражено в форме, показанной выше, является неголономная связь.

Преобразование в независимые обобщенные координаты

Уравнения голономных связей могут помочь нам легко удалить некоторые зависимые переменные в нашей системе. Например, если мы хотим удалить который является параметром в уравнении связи , мы можем переписать уравнение в следующую форму, если предположить, что это возможно,

и заменить в каждом уравнении системы, используя указанную выше функцию. Это всегда можно сделать для общей физической системы при условии, что является , то по теорема о неявной функции, решение гарантируется в некотором открытом множестве. Таким образом, можно удалить все вхождения зависимой переменной .

Предположим, что физическая система имеет степени свободы. Сейчас же, на систему накладываются голономные связи. Тогда количество степеней свободы сокращается до . Мы можем использовать независимый обобщенные координаты (), чтобы полностью описать движение системы. Уравнение преобразования можно выразить следующим образом:

Дифференциальная форма

Рассмотрим следующую дифференциальную форму уравнения связи:

куда cij, cя коэффициенты при дифференциалах dqj и dt для яое ограничение.

Если дифференциальная форма интегрируема, т. Е. Существует функция удовлетворяющий равенству

тогда это ограничение является голономным; в противном случае неголономный. Следовательно, все голономные и некоторые неголономные связи могут быть выражены с помощью дифференциальной формы. Не все неголономные связи можно выразить таким образом. Примеры неголономных связей, которые нельзя выразить таким образом, - это те, которые зависят от обобщенных скоростей. В случае уравнения связи в дифференциальной форме, будет ли связь голономной или неголономной, зависит от интегрируемости дифференциальной формы.

Классификация физических систем

Чтобы изучать классическую физику строго и методично, нам необходимо классифицировать системы. Основываясь на предыдущем обсуждении, мы можем классифицировать физические системы на голономные системы и неголономные системы. Одним из условий применимости многих теорем и уравнений является то, что система должна быть голономной системой. Например, если физическая система является голономной системой и моногенная система, тогда Принцип Гамильтона является необходимым и достаточным условием правильности Уравнение Лагранжа.[2]

Примеры

Маятник

Простой маятник

Как показано справа, простой маятник представляет собой систему, состоящую из груза и струны. Трос прикреплен на верхнем конце к оси, а на нижнем конце к грузу. Длина строки нерастяжима, поэтому она постоянна. Следовательно, эта система голономна; он подчиняется голономной связи

куда положение груза и - длина строки.

Жесткое тело

Частицы жесткое тело подчиняться голономной связи

куда , - соответственно положения частиц и , и расстояние между ними.

Рекомендации

  1. ^ а б Гольдштейн, Герберт (2002). «1.3 Ограничения». Классическая механика (Третье изд.). Пирсон Индия: Аддисон-Уэсли. стр.12–13. ISBN 9788131758915. OCLC 960166650.
  2. ^ Гольдштейн, Герберт (1980). Классическая механика (3-е изд.). Соединенные Штаты Америки: Аддисон Уэсли. п.45. ISBN 0-201-65702-3.