WikiDer > Homogener Vergleich

Vor dem Aufkommen der abstrakten Algebra gaben Mathematiker Polynomgleichungen geometrische Bedeutung. Sie hatten eine Vorliebe für homogene Gleichungen, weil man Inhalte, Flächen und Segmente nicht hinzufügen kann (das wäre bedeutungslos). Wenn jedoch alle Begriffe den gleichen Grad haben, repräsentieren sie auch das Gleiche.

Wenn in einer mathematischen Gleichung die Grad aller von Null verschiedenen Mononome gleich ist, dann ist diese Gleichung homogen.

In den folgenden Beispielen sind x und y die Variablen und a und b sind Nullkonstanten.

• Die gleichung ${displaystyle axy x^{2}=b^{2}y^{2},}$ ist homogen.

• Die gleichung ${displaystyle x^{3} xy^{2}=ay^{2},}$ ist nicht homogen

• Die gleichung ${displaystyle x^{3} ay^{3}=b,}$ ist nicht homogen, weil der Term auf der rechten Seite in den Variablen x und y den Grad Null hat.

Homogen in Bezug auf eine definierte Menge von Variablen

Anstatt zu untersuchen, ob alle Mononome in einer mathematischen Gleichung den gleichen Grad in Bezug auf alle in dieser Gleichung vorkommenden Variablen haben, wird jetzt eine Menge von Variablen vordefiniert. Alle anderen Variablen werden dann für einen Moment als konstant betrachtet.

Zu sagen, dass eine Gleichung bezüglich x und y homogen ist, bedeutet, dass man momentan alles andere als konstant betrachtet und untersucht, ob alle Mononome für die Variablen x und y den gleichen Grad haben.

Beispiele:

• ${displaystyle x^{3} xy^{2}z=ax^{2}yz^{2},}$ ist homogen bezüglich x und y.
• ${Anzeigestil h(2x 4y 7) k(x-y 3)=0,}$ ist homogen bezüglich h und k.
• ${displaystyle asin ^{3}x bcos ^{2}xsin x=0,}$ ist homogen bezüglich ${displaystyle sin x,}$ und ${displaystyle cosx,}$