WikiDer > Поверхность хопфа

В сложная геометрия, а Поверхность хопфа - компактная комплексная поверхность, полученная как фактор комплекса векторное пространство (с удаленным нулем) ${displaystyle mathbb {C} ^ {2} setminus {0}}$ по свободное действие дискретной группы. Если эта группа представляет собой целые числа, поверхность Хопфа называется начальный, иначе он называется вторичный. (Некоторые авторы используют термин «поверхность Хопфа» для обозначения «первичной поверхности Хопфа».) Первый пример был обнаружен Хайнц Хопф (1948) с дискретной группой, изоморфной целым числам, с генератором, действующим на ${displaystyle mathbb {C} ^ {2}}$ умножением на 2; это был первый пример компактной сложной поверхности без Кэлерова метрика.

Многомерные аналоги поверхностей Хопфа называются Многообразия Хопфа.

Инварианты

Поверхности Хопфа поверхности класса VII и, в частности, у всех есть Кодаира измерение ${displaystyle -infty}$, и все их плюригены исчезнут. Геометрический род равен 0. фундаментальная группа имеет нормальную центральную бесконечную циклическую подгруппу конечного индекса. В Ходжа алмаз является

В частности первый Бетти число равно 1, а второе число Бетти равно 0. И наоборот. Кунихико Кодайра (1968) показал, что компактная комплексная поверхность с нулевым вторым числом Бетти, фундаментальная группа которой содержит бесконечную циклическую подгруппу конечного индекса, является поверхностью Хопфа.

Первичные поверхности Хопфа

В течение классификация компактных сложных поверхностейКодаира классифицировал первичные поверхности Хопфа.

Первичная поверхность Хопфа получается как

${displaystyle H = {Big (} mathbb {C} ^ {2} setminus {0} {Big)} / Gamma,}$

куда ${displaystyle Gamma}$ группа, порожденная полиномиальным сжатием ${displaystyle gamma}$.Kodaira нашел нормальную форму для ${displaystyle gamma}$.В соответствующих координатах ${displaystyle gamma}$ можно записать как

${displaystyle (x, y) mapsto (alpha x + lambda y ^ {n}, eta y)}$

куда ${displaystyle alpha, eta in mathbb {C}}$ сложные числа ${displaystyle 0 <| alpha | leq | эта | <1}$, и либо${displaystyle lambda = 0}$ или же ${displaystyle alpha = eta ^ {n}}$.

Эти поверхности содержат эллиптическую кривую (изображение Иксось) и если ${displaystyle lambda = 0}$ образ у-axis - вторая эллиптическая кривая. Когда ${displaystyle lambda = 0}$поверхность Хопфа является эллиптическим расслоением над проективной прямой, если ${displaystyle alpha ^ {m} = eta ^ {n}}$ для некоторых положительных целых чисел м и п, с отображением на проективную прямую, заданную формулой ${displaystyle (x, y) mapsto x ^ {m} y ^ {- n}}$, а в противном случае единственными кривыми являются два изображения осей.

В Группа Пикард любой примарной поверхности Хопфа изоморфна ненулевым комплексным числам ${displaystyle mathbb {C} ^ {*}}$.

Кодаира (1966b) доказал, что комплексная поверхность диффеоморфна ${displaystyle S ^ {3} imes S ^ {1}}$ тогда и только тогда, когда это первичная поверхность Хопфа.

Вторичные поверхности Хопфа

Любая вторичная поверхность Хопфа имеет конечное неразветвленное покрытие, которое является первичной поверхностью Хопфа. Эквивалентно, его фундаментальная группа имеет в центре подгруппу конечного индекса, изоморфную целым числам. Масахидо Като (1975) классифицировал их, найдя конечные группы, действующие без неподвижных точек на примарных поверхностях Хопфа.

Многие примеры вторичных поверхностей Хопфа могут быть построены с подстилающим пространством, являющимся произведением сферические космические формы и круг.

Рекомендации

• Barth, Wolf P .; Хулек, Клаус; Питерс, Крис А.М .; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные сложные поверхности, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Folge., 4, Springer-Verlag, Берлин, Дои:10.1007/978-3-642-57739-0, ISBN 978-3-540-00832-3, МИСТЕР 2030225
• Хопф, Хайнц (1948), "Zur Topologie der komplexen Mannigfaltigkeiten", Исследования и эссе, представленные Р. Куранту в день его 60-летия, 8 января 1948 г., Interscience Publishers, Inc., Нью-Йорк, стр. 167–185, МИСТЕР 0023054
• Като, Масахиде (1975), «Топология поверхностей Хопфа», Журнал математического общества Японии, 27 (2): 222–238, Дои:10.2969 / jmsj / 02720222, ISSN 0025-5645, МИСТЕР 0402128, заархивировано из оригинал на 2012-12-19 Като, Масахиде (1989), Исправление к: Топология поверхностей Хопфа"", Журнал математического общества Японии, 41 (1): 173–174, Дои:10.2969 / jmsj / 04110173, ISSN 0025-5645, МИСТЕР 0972171, заархивировано из оригинал на 2012-12-19
• Кодаира, Кунихико (1966), «О строении компактных комплексных аналитических поверхностей. II», Американский журнал математики, Издательство Университета Джона Хопкинса, 88 (3): 682–721, Дои:10.2307/2373150, ISSN 0002-9327, JSTOR 2373150, МИСТЕР 0205280
• Кодаира, Кунихико (1968), «О строении компактных комплексных аналитических поверхностей. III», Американский журнал математики, Издательство Университета Джона Хопкинса, 90 (1): 55–83, Дои:10.2307/2373426, ISSN 0002-9327, JSTOR 2373426, МИСТЕР 0228019
• Кодаира, Кунихико (1966b), «Сложные конструкции на S¹× S³", Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 55 (2): 240–243, Дои:10.1073 / пнас.55.2.240, ISSN 0027-8424, МИСТЕР 0196769, ЧВК 224129, PMID 16591329
• Матумото, Такао; Накагава, Нориаки (2000), «Явное описание поверхностей Хопфа и их групп автоморфизмов», Осакский математический журнал, 37 (2): 417–424, ISSN 0030-6126, МИСТЕР 1772841
• Орнеа, Ливиу (2001) [1994], «Многообразие Хопфа», Энциклопедия математики, EMS Press