WikiDer > Серия Гумберта

Humbert series

В математике Серия Гумберта набор из семи гипергеометрический ряд Φ1, Φ2, Φ3, Ψ1, Ψ2, Ξ1, Ξ2 из двух переменные которые обобщают Конфлюэнтный гипергеометрический ряд Куммера 1F1 одной переменной и конфлюэнтная гипергеометрическая предельная функция 0F1 одной переменной. Первая из этих двойных серий была представлена Пьер Эмбер (1920).

Определения

Ряд Гумберта Φ1 определено для |Икс| <1 двойной серией:

где Символ Поххаммера (q)п представляет возрастающий факториал:

где второе равенство верно для всех сложных Кроме .

Для других значений Икс функция Φ1 можно определить как аналитическое продолжение.

Ряд Гумберта Φ1 также можно записать в виде одномерного Эйлер-тип интеграл:

Это представление можно проверить с помощью Расширение Тейлора подынтегрального выражения с последующим почленным интегрированием.

Аналогично функция Φ2 определено для всех Икс, у по сериалу:

функция Φ3 для всех Икс, у по сериалу:

функция Ψ1 для |Икс| <1 по серии:

функция Ψ2 для всех Икс, у по сериалу:

функция Ξ1 для |Икс| <1 по серии:

а функция Ξ2 для |Икс| <1 по серии:

Связанные серии

Есть четыре связанных ряда двух переменных, F1, F2, F3, и F4, которые обобщают Гипергеометрический ряд Гаусса 2F1 одной переменной аналогичным образом и которые были введены Поль Эмиль Аппель в 1880 г.

Рекомендации

  • Аппель, Пол; Кампе де Фериет, Жозеф (1926). Fonctions hypergéométriques et hypersphériques; Polynômes d'Hermite (На французском). Париж: Готье-Виллар. JFM 52.0361.13.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт) (см. стр. 126)
  • Бейтман, Х.; Эрдейи, А. (1953). Высшие трансцендентные функции, Vol. я (PDF). Нью-Йорк: Макгроу – Хилл.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт) (см. стр. 225)
  • Градштейн Израиль Соломонович; Рыжик Иосиф Моисеевич; Геронимус Юрий Вениаминович; Цейтлин Михаил Юльевич; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014]. «9.26.». В Цвиллингере, Даниэль; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов. Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
  • Гумберт, Пьер (1920). "Sur les fonctions hypercylindriques". Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (На французском). 171: 490–492. JFM 47.0348.01.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)