WikiDer > Модель гиперболоида

Hyperboloid model
Красная дуга окружности является геодезической в Модель диска Пуанкаре; он проецируется на коричневую геодезическую на зеленый гиперболоид.

В геометрия, то модель гиперболоида, также известный как Модель Минковского после Герман Минковски это модель п-размерный гиперболическая геометрия где точки представлены точками на форвардном листе S+ двухслойной гиперболоид в (п+1) -мерный Пространство Минковского и м-плоскости представлены пересечениями (м+1) -самолетов в пространстве Минковского с S+. Функция гиперболического расстояния допускает простое выражение в этой модели. Гиперболоидная модель п-мерное гиперболическое пространство тесно связано с Модель Бельтрами – Клейна и к Модель диска Пуанкаре поскольку они являются проективными моделями в том смысле, что группа изометрии является подгруппой проективная группа.

Квадратичная форма Минковского

Если (Икс0, Икс1, ..., Иксп) - вектор из (п + 1)-мерное координатное пространство рп+1, то Минковский квадратичная форма определяется как

Векторы vрп+1 такой, что Q(v) = 1 для мужчин п-размерный гиперболоид S состоящий из двух связанные компоненты, или же листы: вперед или будущее, лист S+, куда Икс0> 0 и обратный или прошедший лист S, куда Икс0<0. Пункты п-мерная модель гиперболоида - точки на переднем листе S+.

В Минковский билинейная форма B это поляризация квадратичной формы Минковского Q,

Явно,

В гиперболическое расстояние между двумя точками ты и v из S+ дается формулой

куда аркош это обратная функция из гиперболический косинус.

Прямые линии

Прямая линия в гиперболическом п-пространство моделируется геодезический на гиперболоиде. Геодезическая на гиперболоиде - это (непустое) пересечение гиперболоида с двумерным линейным подпространством (включая начало координат) п+ 1-мерное пространство Минковского. Если мы возьмем ты и v быть базисными векторами этого линейного подпространства с

и использовать ш как действительный параметр для точек на геодезической, то

будет точкой на геодезической.[1]

В более общем плане k-мерная «квартира» в гиперболическом п-пространство будет моделироваться (непустым) пересечением гиперболоида с k+ 1-мерное линейное подпространство (включая начало координат) пространства Минковского.

Изометрии

В неопределенная ортогональная группа O (1,п), также называемый (п+1) -мерный Группа Лоренца, это Группа Ли из настоящий (п+1)×(п+1) матрицы сохраняющие билинейную форму Минковского. На другом языке это группа линейных изометрии из Пространство Минковского. В частности, эта группа сохраняет гиперболоид S. Напомним, что неопределенные ортогональные группы имеют четыре компонента связности, соответствующие изменению или сохранению ориентации на каждом подпространстве (здесь 1-мерное и п-мерный) и образуют Кляйн четыре группы. Подгруппа O (1,п), сохраняющая знак первой координаты, является ортохронная группа Лоренца, обозначается O+(1,п), и имеет два компонента, соответствующих сохранению или изменению ориентации пространственного подпространства. Его подгруппа SO+(1,п) состоящий из матриц с детерминант один - связная группа Ли размерности п(п+1) / 2, который действует на S+ линейными автоморфизмами и сохраняет гиперболическое расстояние. Это действие транзитивно, и стабилизатор вектора (1,0, ..., 0) состоит из матриц вида

Где принадлежит к компактному специальная ортогональная группа ТАК(п) (обобщая группа вращения SO (3) за п = 3). Отсюда следует, что п-размерный гиперболическое пространство может быть выставлен как однородное пространство и Риманово симметричное пространство 1 ранга,

Группа SO+(1,п) - полная группа сохраняющих ориентацию изометрий п-мерное гиперболическое пространство.

Говоря более конкретно, SO+(1,п) можно разбить на п(п-1) / 2 вращения (сформировано с помощью регулярного евклидова матрица вращения в правом нижнем блоке) и п гиперболические переводы, которые принимают форму

куда это расстояние, переведенное (по Икс ось в этом случае), а 2-я строка / столбец можно заменить другой парой, чтобы перейти к перемещению по другой оси. Общий вид перевода в 3-х измерениях по вектору является:

куда .

Это естественным образом распространяется на другие измерения, а также является упрощенной версией Повышение лоренца когда вы удаляете термины относительности.

Примеры групп изометрий

Группа всех изометрий модели гиперболоида равна O+(1,п). Любая группа изометрий является ее подгруппой.

Размышления

По двум очкам , есть уникальное отражение, обменивающееся ими.

Позволять .Обратите внимание, что , и поэтому .

потом

это отражение, которое меняет и Это эквивалентно следующей матрице:

(обратите внимание на использование блочная матрица обозначение).

потом - группа изометрий, все такие подгруппы сопрягать.

Вращения и отражения

группа вращений и отражений, сохраняющих .Функция является изоморфизм из O (п) в эту группу. Для любой точки , если изометрия, отображающая к , тогда группа вращений и отражений, сохраняющих .

Переводы

Для любого реального числа , есть перевод

Это перевод расстояния в положительном направлении x, если или расстояния в отрицательном направлении x, если .Любой перевод расстояния сопряжен с и .Набор - это группа трансляций через ось x, и группа изометрий сопряжена с ней тогда и только тогда, когда это группа изометрий через прямую.

Например, допустим, мы хотим найти группу переводов через строку .Позволять - изометрия, отображающая к и разреши быть изометрией, которая фиксирует и карты к .Пример такой это отражение обмена и (при условии, что они разные), потому что они находятся на одинаковом расстоянии от .Потом отображение изометрии к и точку на положительной оси абсцисс, чтобы . перевод через строку расстояния .Если , это в направление. , это в направление. это группа переводов через .

Симметрии орисфер

Позволять ЧАС быть некоторыми горосфера такие, что точки вида находятся внутри него для сколь угодно больших Икс.Для любого вектора б в

это хорротация, отображающая ЧАС Множество таких поворотов - это группа поворотов, сохраняющих ЧАС.Все вращения сопряжены друг с другом.

Для любого я не(п-1)

вращение или отражение, сохраняющее ЧАС и оси абсцисс. Эти повороты, повороты и отражения порождают группу симметрий ЧАСГруппа симметрии любой орисферы сопряжена с ней. Они изоморфны Евклидова группа E (п-1).

История

В нескольких газетах между 1878–1885 гг. Вильгельм Киллинг [2][3][4] использовал представление, которое он приписал Карл Вейерштрасс за Геометрия Лобачевского. В частности, он обсуждал такие квадратичные формы, как или в произвольных размерах , куда - обратная мера кривизны, обозначает Евклидова геометрия, эллиптическая геометрия, и гиперболическая геометрия.

По словам Джереми Грея (1986),[5] Пуанкаре использовал модель гиперболоида в своих личных заметках в 1880 году. Пуанкаре опубликовал свои результаты в 1881 году, в которых он обсуждал инвариантность квадратичной формы .[6] Грей показывает, где модель гиперболоида подразумевается в более поздних работах Пуанкаре.[7]

Также Хомершем Кокс в 1882 г.[8][9] использовали координаты Вейерштрасса (без использования этого имени), удовлетворяющие соотношению а также .

Дальнейшее раскрытие модели было дано Альфред Клебш и Фердинанд Линдеманн в 1891 г., обсуждая связь и .[10]

Координаты Вейерштрасса также использовались Жераром (1892 г.),[11] Феликс Хаусдорф (1899),[12] Фредерик С. Вудс (1903)],[13] Генрих Либманн (1905).[14]

Гиперболоид исследовался как метрическое пространство к Александр Макфарлейн в его Статьи по космическому анализу (1894 г.). Он отметил, что точки на гиперболоиде можно записать как

где α - базисный вектор, ортогональный оси гиперболоида. Например, он получил гиперболический закон косинусов через использование его Алгебра физики.[1]

Х. Янсен сделал модель гиперболоида явным фокусом своей статьи 1909 года «Представление гиперболической геометрии на двухлистном гиперболоиде».[15] В 1993 году В.Ф. Рейнольдс рассказал о ранней истории модели в своей статье в Американский математический ежемесячный журнал.[16]

Будучи обычной моделью двадцатого века, она отождествлялась с Geschwindigkeitsvectoren (векторы скорости) на Герман Минковски в его лекции 1907 года в Геттингене «Принцип относительности». Скотт Вальтер в своей статье 1999 г. «Неевклидов стиль теории относительности Минковского»[17] напоминает об осознании Минковского, но прослеживает происхождение модели до Герман Гельмгольц а не Вейерштрасс и Киллинг.

В первые годы теории относительности модель гиперболоида использовалась Владимир Варичак чтобы объяснить физику скорости. В своем выступлении перед Немецким математическим союзом в 1912 году он упомянул координаты Вейерштрасса.[18]

Смотрите также

Примечания и ссылки

  1. ^ а б Александр Макфарлейн (1894) Статьи по космическому анализу, Б. Вестерман, Нью-Йорк, ссылка на сайт archive.org
  2. ^ Киллинг, W. (1878) [1877]. "Ueber zwei Raumformen mit constanter positiver Krümmung". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. 86: 72–83.
  3. ^ Киллинг, W. (1880) [1879]. "Die Rechnung in den Nicht-Euklidischen Raumformen". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. 89: 265–287.
  4. ^ Киллинг, У. (1885). Die nicht-euklidischen Raumformen. Лейпциг.
  5. ^ Линейные дифференциальные уравнения и теория групп от Римана до Пуанкаре (страницы 271,2)
  6. ^ Пуанкаре, Х. (1881). "Sur les applications de la géométrie non-euclidienne à la théorie des formes quadratiques" (PDF). Французская ассоциация по развитию науки. 10: 132–138.
  7. ^ См. Также Пуанкаре: Об основных гипотезах геометрии 1887 г. Собрание сочинений, т.11, 71-91 и упоминаемое в книге Б.А. Розенфельд История неевклидовой геометрии с.266 в английской версии (Springer 1988).
  8. ^ Кокс, Х. (1881). «Однородные координаты в воображаемой геометрии и их приложение к системам сил». Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики. 18 (70): 178–192.
  9. ^ Кокс, Х. (1882) [1881]. «Однородные координаты в воображаемой геометрии и их приложение к системам сил (продолжение)». Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики. 18 (71): 193–215.
  10. ^ Линдеманн, Ф. (1891) [1890]. Vorlesungen über Geometrie von Clebsch II. Лейпциг. п.524.
  11. ^ Жерар, Л. (1892). Sur la géométrie non-Euclidienne. Париж: Готье-Виллар.
  12. ^ Хаусдорф, Ф. (1899). "Аналитиче Байтраге цур nichteuklidischen Geometrie". Leipziger Math.-Phys. Берихте. 51: 161–214. HDL:2027 / hvd.32044092889328.
  13. ^ Вудс, Ф. С. (1905) [1903]. «Формы неевклидова пространства». Бостонский коллоквиум: лекции по математике за 1903 год: 31–74.
  14. ^ Либманн, Х. (1905) [1904]. Nichteuklidische Geometrie. Лейпциг: Göschen.
  15. ^ Abbildung hyperbolische Geometrie auf ein zweischaliges Hyperboloid Mitt. Математика. Gesellsch Hamburg 4: 409–440.
  16. ^ Рейнольдс, Уильям Ф. (1993) "Гиперболическая геометрия на гиперболоиде", Американский математический ежемесячный журнал 100:442–55, Ссылка Jstor
  17. ^ Вальтер, Скотт А. (1999), «Неевклидов стиль теории относительности Минковского»в J. Gray (ed.), Символическая Вселенная: геометрия и физика 1890-1930 гг., Oxford University Press, стр. 91–127.
  18. ^ Варичак, В. (1912), «О неевклидовой интерпретации теории относительности», Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 21: 103–127