WikiDer > Игуса дзета-функция

В математика, Игуса дзета-функция это тип производящая функция, считая количество решений уравнения, по модулю п, п², п³, и так далее.

Определение

Для простое число п позволять K быть p-адическое поле, т.е. ${displaystyle [K: mathbb {Q} _ {p}]$, р то оценочное кольцо и п максимальный идеальный. За ${displaystyle zin K}$ мы обозначим через ${displaystyle operatorname {ord} (z)}$ то оценка из z, ${displaystyle mid zmid = q ^ {- имя оператора {ord} (z)}}$, и ${displaystyle ac (z) = zpi ^ {- имя оператора {ord} (z)}}$ для униформизирующего параметра π р.

Кроме того, пусть ${displaystyle phi: K ^ {n} mapsto mathbb {C}}$ быть Функция Шварца – Брюа, т.е. локально постоянная функция с компактная опора и разреши ${displaystyle chi}$ быть персонаж из ${displaystyle R ^ {imes}}$.

В этой ситуации ассоциируется непостоянный многочлен ${displaystyle f (x_ {1}, ldots, x_ {n}) в K [x_ {1}, ldots, x_ {n}]}$ дзета-функция Игуса

${displaystyle Z_ {phi} (s, chi) = int _ {K ^ {n}} phi (x_ {1}, ldots, x_ {n}) chi (ac (f (x_ {1}, ldots, x_ { n}))) | f (x_ {1}, ldots, x_ {n}) | ^ {s}, dx}$

куда ${displaystyle sin mathbb {C}, имя оператора {Re} (s)> 0,}$ и dx является Мера Хаара так нормализовано, что ${displaystyle R ^ {n}}$ имеет меру 1.

Теорема игусы

Дзюн-Ичи Игуса (1974) показало, что ${displaystyle Z_ {phi} (s, chi)}$ является рациональной функцией в ${displaystyle t = q ^ {- s}}$. Доказательство использует Хейсуке Хиронакатеорема о разрешение особенностей. Позже совершенно другое доказательство было дано Ян Денеф с использованием разложения p-адических клеток. Однако о явных формулах известно немного. (Имеются некоторые результаты о дзета-функциях Игуса Сорта Ферма.)

Сравнения по модулю степеней ${displaystyle P}$

В дальнейшем мы берем ${displaystyle phi}$ быть характеристическая функция из ${displaystyle R ^ {n}}$ и ${displaystyle chi}$ быть тривиальным персонажем. Позволять ${displaystyle N_ {i}}$ обозначим количество решений соответствие

${displaystyle f (x_ {1}, ldots, x_ {n}) Equiv 0mod P ^ {i}}$.

Тогда дзета-функция Игуса

${displaystyle Z (t) = int _ {R ^ {n}} | f (x_ {1}, ldots, x_ {n}) | ^ {s}, dx}$

тесно связан с рядом Пуанкаре

${displaystyle P (t) = sum _ {i = 0} ^ {infty} q ^ {- in} N_ {i} t ^ {i}}$

к

${displaystyle P (t) = {frac {1-tZ (t)} {1-t}}.}$

Рекомендации

• Игуса, Джун-Ичи (1974), "Комплексные степени и асимптотические разложения. I. Функции некоторых типов", Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 1974 (268–269): 110–130, Дои:10.1515 / crll.1974.268-269.110, Zbl 0287.43007
• Информация для этой статьи была взята из Дж. Денеф, Отчет о локальной дзета-функции Игусы, Séminaire Bourbaki 43 (1990-1991), эксп. 741; Astérisque 201-202-203 (1991), 359-386