В интегральном исчислении интегрирование по формулам приведения это метод, основанный на повторяющиеся отношения . Он используется, когда выражение содержащий целое число параметр , обычно в виде степеней элементарных функций, или товары из трансцендентные функции и многочлены произвольных степень , нельзя интегрировать напрямую. Но используя другие методы интеграции формула сокращения может быть установлена для получения интеграла от того же или подобного выражения с меньшим целочисленным параметром, постепенно упрощая интеграл до тех пор, пока его нельзя будет вычислить. [1]
Как найти формулу приведения
Формула сокращения может быть получена с использованием любого из распространенных методов интегрирования, например интеграция путем замены , интеграция по частям , интегрирование тригонометрической заменой , интегрирование по частичным дробям и т.д. Основная идея состоит в том, чтобы выразить интеграл, включающий целочисленный параметр (например, мощность) функции, представленной Iп , в терминах интеграла, который включает меньшее значение параметра (меньшую степень) этой функции, например я п -1я п -2отношение повторения . Другими словами, формула приведения выражает интеграл
я п = ∫ ж ( Икс , п ) d Икс , {displaystyle I_ {n} = int f (x, n), {ext {d}} x,} с точки зрения
я k = ∫ ж ( Икс , k ) d Икс , {displaystyle I_ {k} = int f (x, k), {ext {d}} x,} куда
k < п . {displaystyle k Как вычислить интеграл
Для вычисления интеграла положим п к его значению и используйте формулу приведения, чтобы выразить его через (п - 1) или (п - 2) интегральная. Интеграл с меньшим индексом может использоваться для вычисления более высоких индексов; процесс продолжается до тех пор, пока мы не достигнем точки, в которой интегрируемая функция может быть вычислена, обычно когда ее индекс равен 0 или 1. Затем мы производим обратную замену предыдущих результатов, пока не вычислим яп . [2]
Примеры Ниже приведены примеры процедуры.
Интеграл косинуса
Обычно интегралы типа
∫ потому что п Икс d Икс , {displaystyle int cos ^ {n} x, {ext {d}} x ,,!} можно оценить по формуле приведения.
∫ потому что п ( Икс ) d Икс {displaystyle int cos ^ {n} (x), {ext {d}} x!} , за
п = 1, 2 ... 30
Начните с установки:
я п = ∫ потому что п Икс d Икс . {displaystyle I_ {n} = int cos ^ {n} x, {ext {d}} x.,!} Теперь перепишите как:
я п = ∫ потому что п − 1 Икс потому что Икс d Икс , {displaystyle I_ {n} = int cos ^ {n-1} xcos x, {ext {d}} x ,,!} Интегрируя этой заменой:
потому что Икс d Икс = d ( грех Икс ) , {displaystyle cos x, {ext {d}} x = {ext {d}} (sin x) ,,!} я п = ∫ потому что п − 1 Икс d ( грех Икс ) . {displaystyle I_ {n} = int cos ^ {n-1} x, {ext {d}} (sin x).!} Теперь интегрируем по частям:
∫ потому что п Икс d Икс = потому что п − 1 Икс грех Икс − ∫ грех Икс d ( потому что п − 1 Икс ) = потому что п − 1 Икс грех Икс + ( п − 1 ) ∫ грех Икс потому что п − 2 Икс грех Икс d Икс = потому что п − 1 Икс грех Икс + ( п − 1 ) ∫ потому что п − 2 Икс грех 2 Икс d Икс = потому что п − 1 Икс грех Икс + ( п − 1 ) ∫ потому что п − 2 Икс ( 1 − потому что 2 Икс ) d Икс = потому что п − 1 Икс грех Икс + ( п − 1 ) ∫ потому что п − 2 Икс d Икс − ( п − 1 ) ∫ потому что п Икс d Икс = потому что п − 1 Икс грех Икс + ( п − 1 ) я п − 2 − ( п − 1 ) я п , {displaystyle {egin {выравнивается} int cos ^ {n} x, {ext {d}} x & = cos ^ {n-1} xsin x-int sin x, {ext {d}} (cos ^ {n-1 } x) & = cos ^ {n-1} xsin x + (n-1) int sin xcos ^ {n-2} xsin x, {ext {d}} x & = cos ^ {n-1} xsin x + (n-1) int cos ^ {n-2} xsin ^ {2} x, {ext {d}} x & = cos ^ {n-1} xsin x + (n-1) int cos ^ {n -2} x (1-cos ^ {2} x), {ext {d}} x & = cos ^ {n-1} xsin x + (n-1) int cos ^ {n-2} x, { ext {d}} x- (n-1) int cos ^ {n} x, {ext {d}} x & = cos ^ {n-1} xsin x + (n-1) I_ {n-2} - (n-1) I_ {n}, конец {выровнен}},} решение для яп :
я п + ( п − 1 ) я п = потому что п − 1 Икс грех Икс + ( п − 1 ) я п − 2 , {displaystyle I_ {n} + (n-1) I_ {n} = cos ^ {n-1} xsin x + (n-1) I_ {n-2} ,,} п я п = потому что п − 1 ( Икс ) грех Икс + ( п − 1 ) я п − 2 , {displaystyle nI_ {n} = cos ^ {n-1} (x) sin x + (n-1) I_ {n-2} ,,} я п = 1 п потому что п − 1 Икс грех Икс + п − 1 п я п − 2 , {displaystyle I_ {n} = {frac {1} {n}} cos ^ {n-1} xsin x + {frac {n-1} {n}} I_ {n-2} ,,} так что формула редукции:
∫ потому что п Икс d Икс = 1 п потому что п − 1 Икс грех Икс + п − 1 п ∫ потому что п − 2 Икс d Икс . {displaystyle int cos ^ {n} x, {ext {d}} x = {frac {1} {n}} cos ^ {n-1} xsin x + {frac {n-1} {n}} int cos ^ {n-2} x, {ext {d}} x.!} Чтобы дополнить пример, приведенное выше можно использовать для вычисления интеграла (скажем) п = 5;
я 5 = ∫ потому что 5 Икс d Икс . {displaystyle I_ {5} = int cos ^ {5} x, {ext {d}} x.,!} Расчет нижних показателей:
п = 5 , я 5 = 1 5 потому что 4 Икс грех Икс + 4 5 я 3 , {displaystyle n = 5, quad I_ {5} = {frac {1} {5}} cos ^ {4} xsin x + {frac {4} {5}} I_ {3} ,,} п = 3 , я 3 = 1 3 потому что 2 Икс грех Икс + 2 3 я 1 , {displaystyle n = 3, quad I_ {3} = {frac {1} {3}} cos ^ {2} xsin x + {frac {2} {3}} I_ {1} ,,} обратное замещение:
∵ я 1 = ∫ потому что Икс d Икс = грех Икс + C 1 , {displaystyle ecause I_ {1} = int cos x, {ext {d}} x = sin x + C_ {1} ,,} ∴ я 3 = 1 3 потому что 2 Икс грех Икс + 2 3 грех Икс + C 2 , C 2 = 2 3 C 1 , {displaystyle здесь I_ {3} = {frac {1} {3}} cos ^ {2} xsin x + {frac {2} {3}} sin x + C_ {2}, quad C_ {2} = {frac { 2} {3}} C_ {1} ,,} я 5 = 1 5 потому что 4 Икс грех Икс + 4 5 [ 1 3 потому что 2 Икс грех Икс + 2 3 грех Икс ] + C , {displaystyle I_ {5} = {frac {1} {5}} cos ^ {4} xsin x + {frac {4} {5}} left [{frac {1} {3}} cos ^ {2} xsin x + {frac {2} {3}} sin xight] + C ,,} куда C является константой.
Экспоненциальный интеграл
Другой типичный пример:
∫ Икс п е а Икс d Икс . {displaystyle int x ^ {n} e ^ {ax}, {ext {d}} x.,!} Начните с установки:
я п = ∫ Икс п е а Икс d Икс . {displaystyle I_ {n} = int x ^ {n} e ^ {ax}, {ext {d}} x.,!} Интегрируем заменой:
Икс п d Икс = d ( Икс п + 1 ) п + 1 , {displaystyle x ^ {n}, {ext {d}} x = {frac {{ext {d}} (x ^ {n + 1})} {n + 1}} ,,!} я п = 1 п + 1 ∫ е а Икс d ( Икс п + 1 ) , {displaystyle I_ {n} = {frac {1} {n + 1}} int e ^ {ax}, {ext {d}} (x ^ {n + 1}) ,!} Теперь интегрируем по частям:
∫ е а Икс d ( Икс п + 1 ) = Икс п + 1 е а Икс − ∫ Икс п + 1 d ( е а Икс ) = Икс п + 1 е а Икс − а ∫ Икс п + 1 е а Икс d Икс , {displaystyle {egin {align} int e ^ {ax}, {ext {d}} (x ^ {n + 1}) & = x ^ {n + 1} e ^ {ax} -int x ^ {n + 1}, {ext {d}} (e ^ {ax}) & = x ^ {n + 1} e ^ {ax} -aint x ^ {n + 1} e ^ {ax}, {ext {d }} x, конец {выровнен}}!} ( п + 1 ) я п = Икс п + 1 е а Икс − а я п + 1 , {displaystyle (n + 1) I_ {n} = x ^ {n + 1} e ^ {ax} -aI_ {n + 1} ,!} сдвиг индексов назад на 1 (так п + 1 → п , п → п – 1):
п я п − 1 = Икс п е а Икс − а я п , {displaystyle nI_ {n-1} = x ^ {n} e ^ {ax} -aI_ {n} ,!} решение для яп :
я п = 1 а ( Икс п е а Икс − п я п − 1 ) , {displaystyle I_ {n} = {frac {1} {a}} left (x ^ {n} e ^ {ax} -nI_ {n-1} ight) ,,!} так что формула редукции:
∫ Икс п е а Икс d Икс = 1 а ( Икс п е а Икс − п ∫ Икс п − 1 е а Икс d Икс ) . {displaystyle int x ^ {n} e ^ {ax}, {ext {d}} x = {frac {1} {a}} left (x ^ {n} e ^ {ax} -nint x ^ {n- 1} e ^ {ax}, {ext {d}} xight).!} Альтернативный способ вывода начинается с замены е а Икс {displaystyle e ^ {ax}}
Интеграция заменой:
е а Икс d Икс = d ( е а Икс ) а , {displaystyle e ^ {ax}, {ext {d}} x = {frac {{ext {d}} (e ^ {ax})} {a}} ,,!}
я п = 1 а ∫ Икс п d ( е а Икс ) , {displaystyle I_ {n} = {frac {1} {a}} int x ^ {n}, {ext {d}} (e ^ {ax}) ,!}
Теперь интегрируем по частям:
∫ Икс п d ( е а Икс ) = Икс п е а Икс − ∫ е а Икс d ( Икс п ) = Икс п е а Икс − п ∫ е а Икс Икс п − 1 d Икс , {displaystyle {egin {выравнивается} int x ^ {n}, {ext {d}} (e ^ {ax}) & = x ^ {n} e ^ {ax} -int e ^ {ax}, {ext { d}} (x ^ {n}) & = x ^ {n} e ^ {ax} -nint e ^ {ax} x ^ {n-1}, {ext {d}} x, end {выровнено} }!}
что дает формулу сокращения при обратной подстановке:
я п = 1 а ( Икс п е а Икс − п я п − 1 ) , {displaystyle I_ {n} = {frac {1} {a}} left (x ^ {n} e ^ {ax} -nI_ {n-1} ight) ,,!}
что эквивалентно:
∫ Икс п е а Икс d Икс = 1 а ( Икс п е а Икс − п ∫ Икс п − 1 е а Икс d Икс ) . {displaystyle int x ^ {n} e ^ {ax}, {ext {d}} x = {frac {1} {a}} left (x ^ {n} e ^ {ax} -nint x ^ {n- 1} e ^ {ax}, {ext {d}} xight).!} Таблицы формул интегральной редукции
Рациональные функции Следующие интегралы[3]
Факторы линейный радикальный а Икс + б {displaystyle {sqrt {ax + b}} ,!} Линейные факторы п Икс + q {displaystyle {px + q} ,!} а Икс + б {displaystyle {sqrt {ax + b}} ,!} Квадратичный факторы Икс 2 + а 2 {displaystyle x ^ {2} + a ^ {2} ,!} Квадратичные факторы Икс 2 − а 2 {displaystyle x ^ {2} -a ^ {2} ,!} Икс > а {displaystyle x> a ,!} Квадратичные факторы а 2 − Икс 2 {displaystyle a ^ {2} -x ^ {2} ,!} Икс < а {displaystyle x (Неприводимый ) квадратичные множители а Икс 2 + б Икс + c {displaystyle ax ^ {2} + bx + c ,!} Радикалы неприводимых квадратичных множителей а Икс 2 + б Икс + c {displaystyle {sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} ,!} интеграл Формула приведения я п = ∫ Икс п а Икс + б d Икс {displaystyle I_ {n} = int {frac {x ^ {n}} {sqrt {ax + b}}}, {ext {d}} x ,!} я п = 2 Икс п а Икс + б а ( 2 п + 1 ) − 2 п б а ( 2 п + 1 ) я п − 1 {displaystyle I_ {n} = {frac {2x ^ {n} {sqrt {ax + b}}} {a (2n + 1)}} - {frac {2nb} {a (2n + 1)}} I_ { п-1} ,!} я п = ∫ d Икс Икс п а Икс + б {displaystyle I_ {n} = int {frac {{ext {d}} x} {x ^ {n} {sqrt {ax + b}}}} ,!} я п = − а Икс + б ( п − 1 ) б Икс п − 1 − а ( 2 п − 3 ) 2 б ( п − 1 ) я п − 1 {displaystyle I_ {n} = - {frac {sqrt {ax + b}} {(n-1) bx ^ {n-1}}} - {frac {a (2n-3)} {2b (n-1) )}}В 1},!} я п = ∫ Икс п а Икс + б d Икс {displaystyle I_ {n} = int x ^ {n} {sqrt {ax + b}}, {ext {d}} x ,!} я п = 2 Икс п ( а Икс + б ) 3 а ( 2 п + 3 ) − 2 п б а ( 2 п + 3 ) я п − 1 {displaystyle I_ {n} = {frac {2x ^ {n} {sqrt {(ax + b) ^ {3}}}} {a (2n + 3)}} - {frac {2nb} {a (2n + 3)}} I_ {n-1} ,!} я м , п = ∫ d Икс ( а Икс + б ) м ( п Икс + q ) п {displaystyle I_ {m, n} = int {frac {{ext {d}} x} {(ax + b) ^ {m} (px + q) ^ {n}}} ,!} я м , п = { − 1 ( п − 1 ) ( б п − а q ) [ 1 ( а Икс + б ) м − 1 ( п Икс + q ) п − 1 + а ( м + п − 2 ) я м , п − 1 ] 1 ( м − 1 ) ( б п − а q ) [ 1 ( а Икс + б ) м − 1 ( п Икс + q ) п − 1 + п ( м + п − 2 ) я м − 1 , п ] {displaystyle I_ {m, n} = {egin {case} - {frac {1} {(n-1) (bp-aq)}} left [{frac {1} {(ax + b) ^ {m- 1} (px + q) ^ {n-1}}} + a (m + n-2) I_ {m, n-1} ight] {frac {1} {(m-1) (bp-aq )}} left [{frac {1} {(ax + b) ^ {m-1} (px + q) ^ {n-1}}} + p (m + n-2) I_ {m-1, n} ight] end {case}} ,!} я м , п = ∫ ( а Икс + б ) м ( п Икс + q ) п d Икс {displaystyle I_ {m, n} = int {frac {(ax + b) ^ {m}} {(px + q) ^ {n}}}, {ext {d}} x ,!} я м , п = { − 1 ( п − 1 ) ( б п − а q ) [ ( а Икс + б ) м + 1 ( п Икс + q ) п − 1 + а ( п − м − 2 ) я м , п − 1 ] − 1 ( п − м − 1 ) п [ ( а Икс + б ) м ( п Икс + q ) п − 1 + м ( б п − а q ) я м − 1 , п ] − 1 ( п − 1 ) п [ ( а Икс + б ) м ( п Икс + q ) п − 1 − а м я м − 1 , п − 1 ] {displaystyle I_ {m, n} = {egin {case} - {frac {1} {(n-1) (bp-aq)}} влево [{frac {(ax + b) ^ {m + 1}} {(px + q) ^ {n-1}}} + a (nm-2) I_ {m, n-1} ight] - {frac {1} {(nm-1) p}} влево [{ frac {(ax + b) ^ {m}} {(px + q) ^ {n-1}}} + m (bp-aq) I_ {m-1, n} ight] - {frac {1} {(n-1) p}} влево [{frac {(ax + b) ^ {m}} {(px + q) ^ {n-1}}} - amI_ {m-1, n-1} ight ] конец {случаи}} ,!}
интеграл Формула приведения я п = ∫ d Икс ( Икс 2 + а 2 ) п {displaystyle I_ {n} = int {frac {{ext {d}} x} {(x ^ {2} + a ^ {2}) ^ {n}}} ,!} я п = Икс 2 а 2 ( п − 1 ) ( Икс 2 + а 2 ) п − 1 + 2 п − 3 2 а 2 ( п − 1 ) я п − 1 {displaystyle I_ {n} = {frac {x} {2a ^ {2} (n-1) (x ^ {2} + a ^ {2}) ^ {n-1}}} + {frac {2n- 3} {2a ^ {2} (n-1)}} I_ {n-1} ,!} я п , м = ∫ d Икс Икс м ( Икс 2 + а 2 ) п {displaystyle I_ {n, m} = int {frac {{ext {d}} x} {x ^ {m} (x ^ {2} + a ^ {2}) ^ {n}}} ,!} а 2 я п , м = я м , п − 1 − я м − 2 , п {displaystyle a ^ {2} I_ {n, m} = I_ {m, n-1} -I_ {m-2, n} ,!} я п , м = ∫ Икс м ( Икс 2 + а 2 ) п d Икс {displaystyle I_ {n, m} = int {frac {x ^ {m}} {(x ^ {2} + a ^ {2}) ^ {n}}}, {ext {d}} x ,!} я п , м = я м − 2 , п − 1 − а 2 я м − 2 , п {displaystyle I_ {n, m} = I_ {m-2, n-1} -a ^ {2} I_ {m-2, n} ,!}
интеграл Формула приведения я п = ∫ d Икс ( Икс 2 − а 2 ) п {displaystyle I_ {n} = int {frac {{ext {d}} x} {(x ^ {2} -a ^ {2}) ^ {n}}} ,!} я п = − Икс 2 а 2 ( п − 1 ) ( Икс 2 − а 2 ) п − 1 − 2 п − 3 2 а 2 ( п − 1 ) я п − 1 {displaystyle I_ {n} = - {frac {x} {2a ^ {2} (n-1) (x ^ {2} -a ^ {2}) ^ {n-1}}} - {frac {2n -3} {2a ^ {2} (n-1)}} I_ {n-1} ,!} я п , м = ∫ d Икс Икс м ( Икс 2 − а 2 ) п {displaystyle I_ {n, m} = int {frac {{ext {d}} x} {x ^ {m} (x ^ {2} -a ^ {2}) ^ {n}}} ,!} а 2 я п , м = я м − 2 , п − я м , п − 1 {displaystyle {a ^ {2}} I_ {n, m} = I_ {m-2, n} -I_ {m, n-1} ,!} я п , м = ∫ Икс м ( Икс 2 − а 2 ) п d Икс {displaystyle I_ {n, m} = int {frac {x ^ {m}} {(x ^ {2} -a ^ {2}) ^ {n}}}, {ext {d}} x ,!} я п , м = я м − 2 , п − 1 + а 2 я м − 2 , п {displaystyle I_ {n, m} = I_ {m-2, n-1} + a ^ {2} I_ {m-2, n} ,!}
интеграл Формула приведения я п = ∫ d Икс ( а 2 − Икс 2 ) п {displaystyle I_ {n} = int {frac {{ext {d}} x} {(a ^ {2} -x ^ {2}) ^ {n}}} ,!} я п = Икс 2 а 2 ( п − 1 ) ( а 2 − Икс 2 ) п − 1 + 2 п − 3 2 а 2 ( п − 1 ) я п − 1 {displaystyle I_ {n} = {frac {x} {2a ^ {2} (n-1) (a ^ {2} -x ^ {2}) ^ {n-1}}} + {frac {2n- 3} {2a ^ {2} (n-1)}} I_ {n-1} ,!} я п , м = ∫ d Икс Икс м ( а 2 − Икс 2 ) п {displaystyle I_ {n, m} = int {frac {{ext {d}} x} {x ^ {m} (a ^ {2} -x ^ {2}) ^ {n}}} ,!} а 2 я п , м = я м , п − 1 + я м − 2 , п {displaystyle {a ^ {2}} I_ {n, m} = I_ {m, n-1} + I_ {m-2, n} ,!} я п , м = ∫ Икс м ( а 2 − Икс 2 ) п d Икс {displaystyle I_ {n, m} = int {frac {x ^ {m}} {(a ^ {2} -x ^ {2}) ^ {n}}}, {ext {d}} x ,!} я п , м = а 2 я м − 2 , п − я м − 2 , п − 1 {displaystyle I_ {n, m} = a ^ {2} I_ {m-2, n} -I_ {m-2, n-1} ,!}
интеграл Формула приведения я п = ∫ d Икс Икс п ( а Икс 2 + б Икс + c ) {displaystyle I_ {n} = int {frac {{ext {d}} x} {{x ^ {n}} (ax ^ {2} + bx + c)}} ,!} − c я п = 1 Икс п − 1 ( п − 1 ) + б я п − 1 + а я п − 2 {displaystyle -cI_ {n} = {frac {1} {x ^ {n-1} (n-1)}} + bI_ {n-1} + aI_ {n-2} ,!} я м , п = ∫ Икс м d Икс ( а Икс 2 + б Икс + c ) п {displaystyle I_ {m, n} = int {frac {x ^ {m}, {ext {d}} x} {(ax ^ {2} + bx + c) ^ {n}}} ,!} я м , п = − Икс м − 1 а ( 2 п − м − 1 ) ( а Икс 2 + б Икс + c ) п − 1 − б ( п − м ) а ( 2 п − м − 1 ) я м − 1 , п + c ( м − 1 ) а ( 2 п − м − 1 ) я м − 2 , п {displaystyle I_ {m, n} = - {frac {x ^ {m-1}} {a (2n-m-1) (ax ^ {2} + bx + c) ^ {n-1}}} - {frac {b (nm)} {a (2n-m-1)}} I_ {m-1, n} + {frac {c (m-1)} {a (2n-m-1)}} I_ {m-2, n} ,!} я м , п = ∫ d Икс Икс м ( а Икс 2 + б Икс + c ) п {displaystyle I_ {m, n} = int {frac {{ext {d}} x} {x ^ {m} (ax ^ {2} + bx + c) ^ {n}}} ,!} − c ( м − 1 ) я м , п = 1 Икс м − 1 ( а Икс 2 + б Икс + c ) п − 1 + а ( м + 2 п − 3 ) я м − 2 , п + б ( м + п − 2 ) я м − 1 , п {displaystyle -c (m-1) I_ {m, n} = {frac {1} {x ^ {m-1} (ax ^ {2} + bx + c) ^ {n-1}}} + { a (m + 2n-3)} I_ {m-2, n} + {b (m + n-2)} I_ {m-1, n} ,!}
интеграл Формула приведения я п = ∫ ( а Икс 2 + б Икс + c ) п d Икс {displaystyle I_ {n} = int (ax ^ {2} + bx + c) ^ {n}, {ext {d}} x ,!} 8 а ( п + 1 ) я п + 1 2 = 2 ( 2 а Икс + б ) ( а Икс 2 + б Икс + c ) п + 1 2 + ( 2 п + 1 ) ( 4 а c − б 2 ) я п − 1 2 {displaystyle 8a (n + 1) I_ {n + {frac {1} {2}}} = 2 (2ax + b) (ax ^ {2} + bx + c) ^ {n + {frac {1} {2} }} + (2n + 1) (4ac-b ^ {2}) I_ {n- {frac {1} {2}}} ,!} я п = ∫ 1 ( а Икс 2 + б Икс + c ) п d Икс {displaystyle I_ {n} = int {frac {1} {(ax ^ {2} + bx + c) ^ {n}}}, {ext {d}} x ,!} ( 2 п − 1 ) ( 4 а c − б 2 ) я п + 1 2 = 2 ( 2 а Икс + б ) ( а Икс 2 + б Икс + c ) п − 1 2 + 8 а ( п − 1 ) я п − 1 2 {displaystyle (2n-1) (4ac-b ^ {2}) I_ {n + {frac {1} {2}}} = {frac {2 (2ax + b)} {(ax ^ {2} + bx + c) ^ {n- {frac {1} {2}}}}} + {8a (n-1)} I_ {n- {frac {1} {2}}} ,!}
обратите внимание, что законы индексов :
я п + 1 2 = я 2 п + 1 2 = ∫ 1 ( а Икс 2 + б Икс + c ) 2 п + 1 2 d Икс = ∫ 1 ( а Икс 2 + б Икс + c ) 2 п + 1 d Икс {displaystyle I_ {n + {frac {1} {2}}} = I_ {frac {2n + 1} {2}} = int {frac {1} {(ax ^ {2} + bx + c) ^ {frac {2n + 1} {2}}}}, {ext {d}} x = int {frac {1} {sqrt {(ax ^ {2} + bx + c) ^ {2n + 1}}}}, {ext {d}} x ,!} Трансцендентные функции Следующие интегралы[4]
Факторы синуса Коэффициенты косинуса Коэффициенты произведений и частных синусов и косинусов Произведения / коэффициенты экспоненциальных множителей и степеней Икс Произведение экспоненциального множителя и синуса / косинуса интеграл Формула приведения я п = ∫ Икс п грех а Икс d Икс {displaystyle I_ {n} = int x ^ {n} sin {ax}, {ext {d}} x ,!} а 2 я п = − а Икс п потому что а Икс + п Икс п − 1 грех а Икс − п ( п − 1 ) я п − 2 {displaystyle a ^ {2} I_ {n} = - ax ^ {n} cos {ax} + nx ^ {n-1} sin {ax} -n (n-1) I_ {n-2} ,!} J п = ∫ Икс п потому что а Икс d Икс {displaystyle J_ {n} = int x ^ {n} cos {ax}, {ext {d}} x ,!} а 2 J п = а Икс п грех а Икс + п Икс п − 1 потому что а Икс − п ( п − 1 ) J п − 2 {displaystyle a ^ {2} J_ {n} = ax ^ {n} sin {ax} + nx ^ {n-1} cos {ax} -n (n-1) J_ {n-2} ,!} я п = ∫ грех а Икс Икс п d Икс {displaystyle I_ {n} = int {frac {sin {ax}} {x ^ {n}}}, {ext {d}} x ,!} J п = ∫ потому что а Икс Икс п d Икс {displaystyle J_ {n} = int {frac {cos {ax}} {x ^ {n}}}, {ext {d}} x ,!}
я п = − грех а Икс ( п − 1 ) Икс п − 1 + а п − 1 J п − 1 {displaystyle I_ {n} = - {frac {sin {ax}} {(n-1) x ^ {n-1}}}} + {frac {a} {n-1}} J_ {n-1}, !} J п = − потому что а Икс ( п − 1 ) Икс п − 1 − а п − 1 я п − 1 {displaystyle J_ {n} = - {frac {cos {ax}} {(n-1) x ^ {n-1}}} - {frac {a} {n-1}} I_ {n-1}, !}
формулы можно объединить, чтобы получить отдельные уравнения в яп :
J п − 1 = − потому что а Икс ( п − 2 ) Икс п − 2 − а п − 2 я п − 2 {displaystyle J_ {n-1} = - {frac {cos {ax}} {(n-2) x ^ {n-2}}} - {frac {a} {n-2}} I_ {n-2 } ,!}
я п = − грех а Икс ( п − 1 ) Икс п − 1 − а п − 1 [ потому что а Икс ( п − 2 ) Икс п − 2 + а п − 2 я п − 2 ] {displaystyle I_ {n} = - {frac {sin {ax}} {(n-1) x ^ {n-1}}} - {frac {a} {n-1}} left [{frac {cos { ax}} {(n-2) x ^ {n-2}}} + {frac {a} {n-2}} I_ {n-2} полет] ,!}
∴ я п = − грех а Икс ( п − 1 ) Икс п − 1 − а ( п − 1 ) ( п − 2 ) ( потому что а Икс Икс п − 2 + а я п − 2 ) {displaystyle здесь I_ {n} = - {frac {sin {ax}} {(n-1) x ^ {n-1}}} - {frac {a} {(n-1) (n-2)} } left ({frac {cos {ax}} {x ^ {n-2}}} + aI_ {n-2} ight) ,!}
и Jп :
я п − 1 = − грех а Икс ( п − 2 ) Икс п − 2 + а п − 2 J п − 2 {displaystyle I_ {n-1} = - {frac {sin {ax}} {(n-2) x ^ {n-2}}} + {frac {a} {n-2}} J_ {n-2 } ,!}
J п = − потому что а Икс ( п − 1 ) Икс п − 1 − а п − 1 [ − грех а Икс ( п − 2 ) Икс п − 2 + а п − 2 J п − 2 ] {displaystyle J_ {n} = - {frac {cos {ax}} {(n-1) x ^ {n-1}}} - {frac {a} {n-1}} left [- {frac {sin {ax}} {(n-2) x ^ {n-2}}} + {frac {a} {n-2}} J_ {n-2} ight] ,!}
∴ J п = − потому что а Икс ( п − 1 ) Икс п − 1 − а ( п − 1 ) ( п − 2 ) ( − грех а Икс Икс п − 2 + а J п − 2 ) {displaystyle здесь J_ {n} = - {frac {cos {ax}} {(n-1) x ^ {n-1}}} - {frac {a} {(n-1) (n-2)} } left (- {frac {sin {ax}} {x ^ {n-2}}} + aJ_ {n-2} ight) ,!}
я п = ∫ грех п а Икс d Икс {displaystyle I_ {n} = int sin ^ {n} {ax}, {ext {d}} x ,!} а п я п = − грех п − 1 а Икс потому что а Икс + а ( п − 1 ) я п − 2 {displaystyle anI_ {n} = - sin ^ {n-1} {ax} cos {ax} + a (n-1) I_ {n-2} ,!} J п = ∫ потому что п а Икс d Икс {displaystyle J_ {n} = int cos ^ {n} {ax}, {ext {d}} x ,!} а п J п = грех а Икс потому что п − 1 а Икс + а ( п − 1 ) J п − 2 {displaystyle anJ_ {n} = sin {ax} cos ^ {n-1} {ax} + a (n-1) J_ {n-2} ,!} я п = ∫ d Икс грех п а Икс {displaystyle I_ {n} = int {frac {{ext {d}} x} {sin ^ {n} {ax}}} ,!} ( п − 1 ) я п = − потому что а Икс а грех п − 1 а Икс + ( п − 2 ) я п − 2 {displaystyle (n-1) I_ {n} = - {frac {cos {ax}} {asin ^ {n-1} {ax}}} + (n-2) I_ {n-2} ,!} J п = ∫ d Икс потому что п а Икс {displaystyle J_ {n} = int {frac {{ext {d}} x} {cos ^ {n} {ax}}} ,!} ( п − 1 ) J п = грех а Икс а потому что п − 1 а Икс + ( п − 2 ) J п − 2 {displaystyle (n-1) J_ {n} = {frac {sin {ax}} {acos ^ {n-1} {ax}}} + (n-2) J_ {n-2} ,!}
интеграл Формула приведения я м , п = ∫ грех м а Икс потому что п а Икс d Икс {displaystyle I_ {m, n} = int sin ^ {m} {ax} cos ^ {n} {ax}, {ext {d}} x ,!} я м , п = { − грех м − 1 а Икс потому что п + 1 а Икс а ( м + п ) + м − 1 м + п я м − 2 , п грех м + 1 а Икс потому что п − 1 а Икс а ( м + п ) + п − 1 м + п я м , п − 2 {displaystyle I_ {m, n} = {egin {cases} - {frac {sin ^ {m-1} {ax} cos ^ {n + 1} {ax}} {a (m + n)}} + { frac {m-1} {m + n}} I_ {m-2, n} {frac {sin ^ {m + 1} {ax} cos ^ {n-1} {ax}} {a (m + n)}} + {frac {n-1} {m + n}} I_ {m, n-2} end {case}} ,!} я м , п = ∫ d Икс грех м а Икс потому что п а Икс {displaystyle I_ {m, n} = int {frac {{ext {d}} x} {sin ^ {m} {ax} cos ^ {n} {ax}}} ,!} я м , п = { 1 а ( п − 1 ) грех м − 1 а Икс потому что п − 1 а Икс + м + п − 2 п − 1 я м , п − 2 − 1 а ( м − 1 ) грех м − 1 а Икс потому что п − 1 а Икс + м + п − 2 м − 1 я м − 2 , п {displaystyle I_ {m, n} = {egin {cases} {frac {1} {a (n-1) sin ^ {m-1} {ax} cos ^ {n-1} {ax}}} + { frac {m + n-2} {n-1}} I_ {m, n-2} - {frac {1} {a (m-1) sin ^ {m-1} {ax} cos ^ {n -1} {ax}}} + {frac {m + n-2} {m-1}} I_ {m-2, n} end {case}} ,!} я м , п = ∫ грех м а Икс потому что п а Икс d Икс {displaystyle I_ {m, n} = int {frac {sin ^ {m} {ax}} {cos ^ {n} {ax}}}, {ext {d}} x ,!} я м , п = { грех м − 1 а Икс а ( п − 1 ) потому что п − 1 а Икс − м − 1 п − 1 я м − 2 , п − 2 грех м + 1 а Икс а ( п − 1 ) потому что п − 1 а Икс − м − п + 2 п − 1 я м , п − 2 − грех м − 1 а Икс а ( м − п ) потому что п − 1 а Икс + м − 1 м − п я м − 2 , п {displaystyle I_ {m, n} = {egin {cases} {frac {sin ^ {m-1} {ax}} {a (n-1) cos ^ {n-1} {ax}}} - {frac {m-1} {n-1}} I_ {m-2, n-2} {frac {sin ^ {m + 1} {ax}} {a (n-1) cos ^ {n-1} {ax}}} - {frac {m-n + 2} {n-1}} I_ {m, n-2} - {frac {sin ^ {m-1} {ax}} {a (mn) cos ^ {n-1} {ax}}} + {frac {m-1} {mn}} I_ {m-2, n} end {case}} ,!} я м , п = ∫ потому что м а Икс грех п а Икс d Икс {displaystyle I_ {m, n} = int {frac {cos ^ {m} {ax}} {sin ^ {n} {ax}}}, {ext {d}} x ,!} я м , п = { − потому что м − 1 а Икс а ( п − 1 ) грех п − 1 а Икс − м − 1 п − 1 я м − 2 , п − 2 − потому что м + 1 а Икс а ( п − 1 ) грех п − 1 а Икс − м − п + 2 п − 1 я м , п − 2 потому что м − 1 а Икс а ( м − п ) грех п − 1 а Икс + м − 1 м − п я м − 2 , п {displaystyle I_ {m, n} = {egin {cases} - {frac {cos ^ {m-1} {ax}} {a (n-1) sin ^ {n-1} {ax}}} - { frac {m-1} {n-1}} I_ {m-2, n-2} - {frac {cos ^ {m + 1} {ax}} {a (n-1) sin ^ {n- 1} {ax}}} - {frac {m-n + 2} {n-1}} I_ {m, n-2} {frac {cos ^ {m-1} {ax}} {a (mn ) sin ^ {n-1} {ax}}} + {frac {m-1} {mn}} I_ {m-2, n} end {case}} ,!}
интеграл Формула приведения я п = ∫ Икс п е а Икс d Икс {displaystyle I_ {n} = int x ^ {n} e ^ {ax}, {ext {d}} x ,!} п > 0 {displaystyle n> 0 ,!}
я п = Икс п е а Икс а − п а я п − 1 {displaystyle I_ {n} = {frac {x ^ {n} e ^ {ax}} {a}} - {frac {n} {a}} I_ {n-1} ,!} я п = ∫ Икс − п е а Икс d Икс {displaystyle I_ {n} = int x ^ {- n} e ^ {ax}, {ext {d}} x ,!} п > 0 {displaystyle n> 0 ,!}
п ≠ 1 {displaystyle neq 1 ,!}
я п = − е а Икс ( п − 1 ) Икс п − 1 + а п − 1 я п − 1 {displaystyle I_ {n} = {frac {-e ^ {ax}} {(n-1) x ^ {n-1}}} + {frac {a} {n-1}} I_ {n-1} ,!} я п = ∫ е а Икс грех п б Икс d Икс {displaystyle I_ {n} = int e ^ {ax} sin ^ {n} {bx}, {ext {d}} x ,!} я п = е а Икс грех п − 1 б Икс а 2 + ( б п ) 2 ( а грех б Икс − б п потому что б Икс ) + п ( п − 1 ) б 2 а 2 + ( б п ) 2 я п − 2 {displaystyle I_ {n} = {frac {e ^ {ax} sin ^ {n-1} {bx}} {a ^ {2} + (bn) ^ {2}}} влево (как в bx-bncos bxight) + {гидроразрыв {n (n-1) b ^ {2}} {a ^ {2} + (bn) ^ {2}}} I_ {n-2} ,!} я п = ∫ е а Икс потому что п б Икс d Икс {displaystyle I_ {n} = int e ^ {ax} cos ^ {n} {bx}, {ext {d}} x ,!} я п = е а Икс потому что п − 1 б Икс а 2 + ( б п ) 2 ( а потому что б Икс + б п грех б Икс ) + п ( п − 1 ) б 2 а 2 + ( б п ) 2 я п − 2 {displaystyle I_ {n} = {frac {e ^ {ax} cos ^ {n-1} {bx}} {a ^ {2} + (bn) ^ {2}}} влево (acos bx + bnsin bxight) + {гидроразрыв {n (n-1) b ^ {2}} {a ^ {2} + (bn) ^ {2}}} I_ {n-2} ,!}
Рекомендации
^ Математические методы для физики и техники, К.Ф. Райли, М. Хобсон, С.Дж. Бенс, издательство Кембриджского университета, 2010 г., ISBN 978-0-521-86153-3 ^ Дальнейший элементарный анализ, Р.И. Портер, G. Bell & Sons Ltd, 1978, ISBN 0-7135-1594-5 ^ http://www.sosmath.com/tables/tables.html -> Список неопределенных интегралов^ http://www.sosmath.com/tables/tables.html -> Список неопределенных интеграловБиблиография
Антон, Бивенс, Дэвис, Исчисление, 7-е издание. 
![I_5 = frac {1} {5} cos ^ 4 x sin x + frac {4} {5} left [frac {1} {3} cos ^ 2 x sin x + frac {2} {3} sin xight] + C ,,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7803bf2d86071f40537d4590e76ab498354b7c7f)
![{displaystyle I_ {m, n} = {egin {case} - {frac {1} {(n-1) (bp-aq)}} left [{frac {1} {(ax + b) ^ {m- 1} (px + q) ^ {n-1}}} + a (m + n-2) I_ {m, n-1} ight] {frac {1} {(m-1) (bp-aq )}} left [{frac {1} {(ax + b) ^ {m-1} (px + q) ^ {n-1}}} + p (m + n-2) I_ {m-1, n} ight] end {case}} ,!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22e62922721540ee6636beadc5183d305fa0a98b)
![{displaystyle I_ {m, n} = {egin {case} - {frac {1} {(n-1) (bp-aq)}} влево [{frac {(ax + b) ^ {m + 1}} {(px + q) ^ {n-1}}} + a (nm-2) I_ {m, n-1} ight] - {frac {1} {(nm-1) p}} влево [{ frac {(ax + b) ^ {m}} {(px + q) ^ {n-1}}} + m (bp-aq) I_ {m-1, n} ight] - {frac {1} {(n-1) p}} влево [{frac {(ax + b) ^ {m}} {(px + q) ^ {n-1}}} - amI_ {m-1, n-1} ight ] конец {случаи}} ,!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18cf63aea753eb3517e589623b4728e1545c012b)
![I_n = -frac {sin {ax}} {(n-1) x ^ {n-1}} - frac {a} {n-1} left [frac {cos {ax}} {(n-2) x ^ {n-2}} + frac {a} {n-2} I_ {n-2} полет],!](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c59ab79c10f4eed2620c496fac8b476174a84477)
![J_n = -frac {cos {ax}} {(n-1) x ^ {n-1}} - frac {a} {n-1} left [-frac {sin {ax}} {(n-2) x ^ {n-2}} + frac {a} {n-2} J_ {n-2} ight] ,!](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf2ed60b99d5d7b4dfa736c3627c68021c847b44)
