WikiDer > Инвариантность домена

Invariance of domain

Инвариантность домена это теорема в топология о гомеоморфный подмножества из Евклидово пространство п. Говорится:

Если U является открытое подмножество из п и ж : U → ℝп является инъективный непрерывная карта, тогда V := ж(U) открыт в п и ж это гомеоморфизм между U и V.

Теорема и ее доказательство принадлежат Л. Э. Дж. Брауэр, опубликовано в 1912 году.[1] Доказательство использует инструменты алгебраическая топология, в частности Теорема Брауэра о неподвижной точке.

Примечания

Заключение теоремы эквивалентно можно сформулировать как: «ж является открытая карта".

Обычно, чтобы проверить это ж является гомеоморфизмом, необходимо проверить, что оба ж и это обратная функция ж −1 непрерывны; теорема говорит, что если область является открыто подмножество п и изображение тоже в п, то непрерывность ж −1 автоматический. Кроме того, теорема говорит, что если два подмножества U и V из п гомеоморфны, и U открыто, то V также должен быть открыт. (Обратите внимание, что V открыто как подмножество п, и не только в топологии подпространств. Открытость V в топологии подпространства автоматическая.) Оба эти утверждения вовсе не очевидны и в общем случае неверны, если кто-то покидает евклидово пространство.

Не гомеоморфизм его образа
Отображение, не являющееся гомеоморфизмом своего образа: грамм : (−1.1, 1) → ℝ2 сграмм(т) = (т2 − 1, т3 − т)

Чрезвычайно важно, чтобы оба домен и ассортимент из ж содержатся в евклидовом пространстве того же измерения. Рассмотрим, например, карту ж : (0,1) → ℝ2 определяется ж(т) = (т, 0). Это отображение является инъективным и непрерывным, область является открытым подмножеством , но изображение не открывается в 2. Более ярким примером является карта грамм : (−1.1, 1) → ℝ2 определяется грамм(т) = (т 2 − 1, т 3 − т) потому что здесь грамм инъективен и непрерывен, но даже не дает гомеоморфизма своему образу.

Теорема также обычно неверна в бесконечных измерениях. Рассмотрим, например, Банахово пространство л всего ограниченного реального последовательности. Определять ж : лл как сдвиг ж(Икс1, Икс2, ...) = (0, Икс1, Икс2, ...). потом ж инъективно и непрерывно, область открыта в л, но изображения нет.

Последствия

Важным следствием теоремы об инвариантности области является то, что п не может быть гомеоморфен м если мп. Действительно, нет непустого открытого подмножества п может быть гомеоморфно любому открытому подмножеству м в этом случае.

Обобщения

Теорема об инвариантности области может быть обобщена на коллекторы: если M и N топологические п-многообразия без края и ж : MN является непрерывной картой, которая локально взаимно однозначна (что означает, что каждая точка в M имеет район такой, что ж ограничение на эту окрестность инъективно), то ж является открытая карта (означающий, что ж(U) открыт в N в любое время U открытое подмножество M) и локальный гомеоморфизм.

Существуют также обобщения некоторых типов непрерывных отображений из Банахово пространство себе.[2]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Брауэр Л.Э.Дж. Beweis der Invarianz des п-dimensionalen Gebiets, Mathematische Annalen 71 (1912), страницы 305–315; см. также 72 (1912), стр. 55–56.
  2. ^ Лерэ Дж. Топология абстрактных пространств М. Банаха. C. R. Acad. Sci. Париж, 200 (1935) стр. 1083–1093

внешняя ссылка

  • Милл, Дж. Ван (2001) [1994], «Доменная инвариантность», Энциклопедия математики, EMS Press