WikiDer > Итерированный предел

Iterated limit

В многомерное исчисление, повторный предел является выражением формы

У одного есть выражение, значение которого зависит как минимум от двух переменных, один принимает предел, когда одна из двух переменных приближается к некоторому числу, получает выражение, значение которого зависит только от другой переменной, а затем принимает предел, когда другая переменная приближается какое-то количество. Это не определяется так же, как предел

что не является повторным пределом. Сказать, что это последнее предел функции более чем одной переменной равно определенному числу L Значит это ƒ(Иксу) можно сделать максимально близким к L по желанию, сделав точку (Иксу) достаточно близко к точке (пq). Это не означает, что сначала берется один предел, а потом другой.

Контрпримеры

Не во всех случаях верно, что

 

 

 

 

(1)

Среди стандартных контрпримеров есть те, в которых

и

[1]

и (пq) = (0, 0).

В первом примере значения двух повторных пределов отличаются друг от друга:

и

[2]


Во втором примере два повторных предела равны друг другу, несмотря на то, что предел как (Иксу) → (0, 0) не существует:

и

но предел как (Иксу) → (0, 0) по прямой у = Икс отличается:

Следует, что

не существует.

Достаточное состояние

Достаточное условие для (1) держать Теорема Мура-Осгуда: Если существует поточечно для каждого у отличается от q и если сходится равномерно за Иксп тогда двойной предел и повторяющиеся пределы существуют и равны.[3]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Стюарт, Джеймс (2008). «Глава 15.2 Пределы и преемственность». Многопараметрическое исчисление (6-е изд.). С. 907–909. ISBN 0495011630.
  2. ^ Хотя в этом нет ничего плохого, стоит обратить внимание на то, что
    .
    (Но это небольшая проблема, поскольку мы скоро рассмотрим .)
  3. ^ Тейлор, Ангус Э. (2012). Общая теория функций и интеграции. Серия Dover Книги по математике. п. 140. ISBN 9780486152141.