WikiDer > Функции Кельвина

В прикладной математике Функции Кельвина бер_ν(Икс) и bei_ν(Икс) являются настоящий и мнимые частисоответственно из

${ displaystyle J _ { nu} left (xe ^ { frac {3 pi i} {4}} right), ,}$

куда Икс реально, и J_ν(z), это ν^th порядок Функция Бесселя первого вида. Аналогично функции ker_ν(Икс) и кей_ν(Икс) - действительная и мнимая части соответственно

${ displaystyle K _ { nu} left (xe ^ { frac { pi i} {4}} right), ,}$

куда K_ν(z) это ν^th порядок модифицированная функция Бесселя второго рода.

Эти функции названы в честь Уильям Томсон, первый барон Кельвин.

В то время как функции Кельвина определяются как действительная и мнимая части функций Бесселя с Икс считая действительными, функции могут быть аналитически продолжены для сложных аргументов xe^iφ, 0 ≤ φ < 2π. За исключением бер_п(Икс) и bei_п(Икс) для интегральных п, функции Кельвина имеют точка разветвления в Икс = 0.

Ниже, Γ (z) это гамма-функция и ψ(z) это функция дигаммы.

бер (Икс)

бер (Икс) за Икс от 0 до 20.

${ Displaystyle mathrm {ber} (х) / е ^ {х / { sqrt {2}}}}$ за Икс от 0 до 50.

Для целых чисел п, бер_п(Икс) имеет разложение в ряд

${ displaystyle mathrm {ber} _ {n} (x) = left ({ frac {x} {2}} right) ^ {n} sum _ {k geq 0} { frac { cos left [ left ({ frac {3n} {4}} + { frac {k} {2}} right) pi right]} {k! Gamma (n + k + 1)} } left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {k},}$

куда Γ (z) это гамма-функция. Особый случай ber₀(Икс), обычно обозначаемый просто ber (Икс), имеет разложение в ряд

${ displaystyle mathrm {ber} (x) = 1 + sum _ {k geq 1} { frac {(-1) ^ {k}} {[(2k)!] ^ {2}}} влево ({ frac {x} {2}} right) ^ {4k}}$

и асимптотический ряд

${ displaystyle mathrm {ber} (x) sim { frac {e ^ { frac {x} { sqrt {2}}}} { sqrt {2 pi x}}} left (f_ { 1} (x) cos alpha + g_ {1} (x) sin alpha right) - { frac { mathrm {kei} (x)} { pi}}}$,

куда

${ displaystyle alpha = { frac {x} { sqrt {2}}} - { frac { pi} {8}},}$

${ displaystyle f_ {1} (x) = 1 + sum _ {k geq 1} { frac { cos (k pi / 4)} {k! (8x) ^ {k}}} prod _ {l = 1} ^ {k} (2l-1) ^ {2}}$

${ displaystyle g_ {1} (x) = sum _ {k geq 1} { frac { sin (k pi / 4)} {k! (8x) ^ {k}}} prod _ { l = 1} ^ {k} (2l-1) ^ {2}.}$

bei (Икс)

bei (Икс) за Икс от 0 до 20.

${ Displaystyle mathrm {bei} (х) / е ^ {х / { sqrt {2}}}}$ за Икс от 0 до 50.

Для целых чисел п, bei_п(Икс) имеет разложение в ряд

${ displaystyle mathrm {bei} _ {n} (x) = left ({ frac {x} {2}} right) ^ {n} sum _ {k geq 0} { frac { sin left [ left ({ frac {3n} {4}} + { frac {k} {2}} right) pi right]} {k! Gamma (n + k + 1)} } left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {k}.}$

Частный случай bei₀(Икс), обычно обозначаемый как just bei (Икс), имеет разложение в ряд

${ displaystyle mathrm {bei} (x) = sum _ {k geq 0} { frac {(-1) ^ {k}} {[(2k + 1)!] ^ {2}}} влево ({ frac {x} {2}} right) ^ {4k + 2}}$

и асимптотический ряд

${ displaystyle mathrm {bei} (x) sim { frac {e ^ { frac {x} { sqrt {2}}}} { sqrt {2 pi x}}} [f_ {1} (x) sin alpha -g_ {1} (x) cos alpha] - { frac { mathrm {ker} (x)} { pi}},}$

где α, ${ displaystyle f_ {1} (х)}$, и ${ displaystyle g_ {1} (х)}$ определяются как для ber (Икс).

кер (Икс)

кер (Икс) за Икс от 0 до 14.

${ Displaystyle mathrm {ker} (х) е ^ {х / { sqrt {2}}}}$ за Икс от 0 до 50.

Для целых чисел п, кер_п(Икс) имеет разложение в (сложный) ряд

${ displaystyle { begin {align} & mathrm {ker} _ {n} (x) = - ln left ({ frac {x} {2}} right) mathrm {ber} _ {n } (x) + { frac { pi} {4}} mathrm {bei} _ {n} (x) & + { frac {1} {2}} left ({ frac {x } {2}} right) ^ {- n} sum _ {k = 0} ^ {n-1} cos left [ left ({ frac {3n} {4}} + { frac { k} {2}} right) pi right] { frac {(nk-1)!} {k!}} left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {k} & + { frac {1} {2}} left ({ frac {x} {2}} right) ^ {n} sum _ {k geq 0} cos left [ left ({ frac {3n} {4}} + { frac {k} {2}} right) pi right] { frac { psi (k + 1) + psi (n + k + 1)} {k! (n + k)!}} left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {k}. end {align}}}$

Частный случай ker₀(Икс), обычно обозначаемый просто ker (Икс), имеет разложение в ряд

${ displaystyle mathrm {ker} (x) = - ln left ({ frac {x} {2}} right) mathrm {ber} (x) + { frac { pi} {4} } mathrm {bei} (x) + sum _ {k geq 0} (- 1) ^ {k} { frac { psi (2k + 1)} {[(2k)!] ^ {2} }} left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {2k}}$

и асимптотический ряд

${ displaystyle mathrm {ker} (x) sim { sqrt { frac { pi} {2x}}} e ^ {- { frac {x} { sqrt {2}}}} [f_ { 2} (x) cos beta + g_ {2} (x) sin beta],}$

куда

${ displaystyle beta = { frac {x} { sqrt {2}}} + { frac { pi} {8}},}$

${ displaystyle f_ {2} (x) = 1 + sum _ {k geq 1} (- 1) ^ {k} { frac { cos (k pi / 4)} {k! (8x) ^ {k}}} prod _ {l = 1} ^ {k} (2l-1) ^ {2}}$

${ displaystyle g_ {2} (x) = sum _ {k geq 1} (- 1) ^ {k} { frac { sin (k pi / 4)} {k! (8x) ^ { k}}} prod _ {l = 1} ^ {k} (2l-1) ^ {2}.}$

кей (Икс)

кей (Икс) за Икс от 0 до 14.

${ Displaystyle mathrm {kei} (х) е ^ {х / { sqrt {2}}}}$ за Икс от 0 до 50.

Для целого числа п, кей_п(Икс) имеет разложение в ряд

${ Displaystyle { begin {align} & mathrm {kei} _ {n} (x) = - ln left ({ frac {x} {2}} right) mathrm {bei} _ {n } (x) - { frac { pi} {4}} mathrm {ber} _ {n} (x) & - { frac {1} {2}} left ({ frac {x } {2}} right) ^ {- n} sum _ {k = 0} ^ {n-1} sin left [ left ({ frac {3n} {4}} + { frac { k} {2}} right) pi right] { frac {(nk-1)!} {k!}} left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {k} & + { frac {1} {2}} left ({ frac {x} {2}} right) ^ {n} sum _ {k geq 0} sin left [ left ({ frac {3n} {4}} + { frac {k} {2}} right) pi right] { frac { psi (k + 1) + psi (n + k + 1)} {k! (n + k)!}} left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {k}. end {align}}}$

Особый случай кей₀(Икс), обычно обозначаемый как просто kei (Икс), имеет разложение в ряд

${ displaystyle mathrm {kei} (x) = - ln left ({ frac {x} {2}} right) mathrm {bei} (x) - { frac { pi} {4} } mathrm {ber} (x) + sum _ {k geq 0} (- 1) ^ {k} { frac { psi (2k + 2)} {[(2k + 1)!] ^ { 2}}} left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {2k + 1}}$

и асимптотический ряд

${ displaystyle mathrm {kei} (x) sim - { sqrt { frac { pi} {2x}}} e ^ {- { frac {x} { sqrt {2}}}} [f_ {2} (x) sin beta + g_ {2} (x) cos beta],}$

куда β, ж₂(Икс), и грамм₂(Икс) определяются так же, как для ker (Икс).

Смотрите также

• Функция Бесселя

Рекомендации

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 9». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 379. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. МИСТЕР 0167642. LCCN 65-12253.
• Olver, F. W. J .; Максимон, Л. К. (2010), «Функции Бесселя», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, МИСТЕР 2723248

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Функции Кельвина». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. [1]
• Исходный код C / C ++ под лицензией GPL для вычисления функций Кельвина на codecogs.com: [2]