WikiDer > Колмогоровские обратные уравнения (диффузия)

Kolmogorov backward equations (diffusion)

В Колмогорова обратное уравнение (KBE) (диффузия) и ее прилегающий иногда известное как прямое уравнение Колмогорова (диффузия), уравнения в частных производных (PDE), возникающие в теории непрерывного времени. Марковские процессы. Оба были опубликованы Андрей Колмогоров в 1931 г.[1] Позже выяснилось, что прямое уравнение уже было известно физикам под названием Уравнение Фоккера – Планка; KBE с другой стороны был новым.

Неформально прямое уравнение Колмогорова решает следующую проблему. У нас есть информация о состоянии Икс системы во время т (а именно распределение вероятностей ); мы хотим знать распределение вероятностей состояния в более позднее время . Прилагательное «вперед» указывает на то, что служит начальным условием, а PDE интегрируется вперед во времени (в общем случае, когда начальное состояние известно точно, это Дельта-функция Дирака с центром в известном начальном состоянии).

Обратное уравнение Колмогорова, с другой стороны, полезно, когда нас интересует время т в будущем s система будет в заданном подмножестве состояний B, иногда называемый целевой набор. Цель описывается заданной функцией который равен 1, если состояние Икс находится в целевом наборе на время s, и ноль в противном случае. Другими словами, , индикаторная функция для множества B. Мы хотим знать для каждого штата Икс вовремя какова вероятность того, что вы попадете в цель, установленную во время s (иногда называется вероятностью попадания). В этом случае служит конечным условием PDE, интегрированного назад во времени, от s к т.

Формулировка обратного уравнения Колмогорова

Предположим, что состояние системы развивается в соответствии с стохастическое дифференциальное уравнение

то обратное уравнение Колмогорова имеет вид [2]

за при соблюдении окончательного условия Это можно получить, используя Лемма Ито на и устанавливают член dt равным нулю.

Это уравнение также может быть получено из Формула Фейнмана-Каца отмечая, что вероятность попадания такая же, как и ожидаемое значение по всем путям, исходящим из состояния x в момент времени t:

Исторически, конечно, KBE [1] был разработан до формулы Фейнмана-Каца (1949).

Формулировка прямого уравнения Колмогорова

В тех же обозначениях, что и раньше, соответствующее прямое уравнение Колмогорова имеет вид:

за , с начальным условием . Подробнее об этом уравнении см. Уравнение Фоккера – Планка.

Смотрите также

Рекомендации

  • Этеридж, А. (2002). Курс финансового исчисления. Издательство Кембриджского университета.
  1. ^ а б Андрей Колмогоров, "Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung" (Об аналитических методах в теории вероятностей), 1931, [1]
  2. ^ Рискен, Х., "Уравнение Фоккера-Планка: методы решения и приложения" 1996, Springer