WikiDer > Теорема Куммерса - Википедия

Kummers theorem - Wikipedia

В математика, Теорема Куммера формула для показателя степени наибольшей степени простое число п который делит данный биномиальный коэффициент. Другими словами, это дает п-адическая оценка из биномиальный коэффициент. Теорема названа в честь Эрнст Куммер, который доказал это в следующей статье: (Куммер 1852 г.).

Заявление

Теорема Куммера утверждает, что для данного целые числа п ≥ м ≥ 0 и простое число п, то п-адическая оценка ${ displaystyle nu _ {p} left ({ tbinom {n} {m}} right)}$ равно количеству несет когда м добавлен к п − м в основание п.

Это можно доказать, написав ${ displaystyle { tbinom {n} {m}}}$ в качестве ${ displaystyle { tfrac {n!} {м! (п-м)!}}}$ и используя Формула Лежандра.^[1]

Примеры

Чтобы вычислить наибольшую степень двойки деления биномиального коэффициента ${ displaystyle { binom {10} {3}}}$ записывать $м = 3$ и $п - м = 7$ в базе $п = 2$ в качестве $3 = 11 2$ и $7 = 111 2$ . Проведение сложения $112 + 111 2 = 1010 2$ в базе 2 требуется три керри. И самая большая степень двойки, которая делит ${ Displaystyle { binom {10} {3}} = 120 = 2 ^ {3} cdot 15}$ является $23$ .

Обобщение полиномиальных коэффициентов

Теорема Куммера может быть обобщена на полиномиальные коэффициенты ${ displaystyle { tbinom {n} {m_ {1}, ldots, m_ {k}}} = { tfrac {n!} {m_ {1}! cdots m_ {k}!}}}$ следующее:

Напишите базу- ${ displaystyle p}$ расширение целого числа ${ displaystyle n}$ в качестве ${ displaystyle n = n_ {0} + n_ {1} p + n_ {2} p ^ {2} + cdots + n_ {r} p ^ {r}}$ , и определим ${ displaystyle S_ {p} (n): = n_ {0} + n_ {1} + cdots + n_ {r}}$ быть суммой базового ${ displaystyle p}$ цифры. потом