WikiDer > Уравнение Ландау – Лифшица – Гильберта.

В физике Уравнение Ландау – Лифшица – Гильберта., названный в честь Лев Ландау, Евгений Лифшиц, и Т. Л. Гилберт, это имя, используемое для дифференциальное уравнение описывая прецессионное движение из намагничивание M в твердый. Это модификация Гильбертом исходного уравнения Ландау и Лифшица.

Различные формы уравнения обычно используются в микромагнетизм смоделировать эффекты магнитное поле на ферромагнитные материалы. В частности, его можно использовать для моделирования поведения магнитных элементов во временной области под действием магнитного поля.^[1] В уравнение был добавлен дополнительный член для описания влияния спин-поляризованного тока на магниты.^[2]

Уравнение Ландау – Лифшица.

Члены уравнения Ландау – Лифшица – Гильберта: прецессия (красный цвет) и затухание (синий цвет). Траектория намагничивания (пунктирная спираль) построена в упрощающем предположении, что эффективное поле ЧАС_эфф постоянно.

В ферромагнетик, то намагничивание M может меняться внутри, но в каждой точке его величина равна намагниченность насыщения M_s. Уравнение Ландау – Лифшица – Гильберта предсказывает вращение намагниченности в ответ на крутящие моменты. Более раннее, но эквивалентное уравнение (уравнение Ландау – Лифшица) было введено Ландау и Лифшиц (1935):^[3][4][5]

${displaystyle {frac {dmathbf {M}} {dt}} = - gamma mathbf {M} imes mathbf {H_ {mathrm {eff}}} -lambda mathbf {M} imes left (mathbf {M} imes mathbf {H_ { mathrm {eff}}} ight)}$

(1)

куда γ электрон гиромагнитное отношение. и λ - феноменологический параметр демпфирования, часто заменяемый на

${displaystyle lambda = alpha {frac {gamma} {M_ {mathrm {s}}}},}$

куда α - безразмерная постоянная, называемая коэффициентом затухания. В эффективное поле ЧАС_эфф представляет собой комбинацию внешнего магнитного поля, размагничивающее поле (магнитное поле из-за намагниченности) и некоторые квантово-механические эффекты. Чтобы решить это уравнение, необходимо включить дополнительные уравнения для размагничивающего поля.

Используя методы необратимый статистическая механика, многочисленные авторы независимо получили уравнение Ландау – Лифшица.^[6]

Уравнение Ландау – Лифшица – Гильберта.

В 1955 году Гилберт заменил демпфирующий член в уравнении Ландау – Лифшица (ЛЛ) на член, который зависит от производной намагниченности по времени:

${displaystyle {frac {dmathbf {M}} {dt}} = - гамма слева (mathbf {M} imes mathbf {H} _ {mathrm {eff}} -eta mathbf {M} imes {frac {dmathbf {M}}) {dt}} ight)}$

(2b)

Это уравнение Ландау – Лифшица – Гильберта (ЛЛГ), где η - параметр демпфирования, характерный для материала. Его можно преобразовать в уравнение Ландау – Лифшица:^[3]

${displaystyle {frac {dmathbf {M}} {dt}} = - gamma 'mathbf {M} imes mathbf {H} _ {mathrm {eff}} -lambda mathbf {M} imes (mathbf {M} imes mathbf {H } _ {mathrm {eff}})}$

(2а)

куда

${displaystyle gamma '= {frac {gamma} {1 + gamma ^ {2} eta ^ {2} M_ {s} ^ {2}}} qquad {ext {and}} qquad lambda = {frac {gamma ^ {2 } eta} {1 + gamma ^ {2} eta ^ {2} M_ {s} ^ {2}}}.}$

В этой форме уравнения ЛЛ член прецессии γ ' зависит от срока демпфирования. Это лучше отражает поведение реальных ферромагнетиков при большом затухании.^[7]

Уравнение Ландау – Лифшица – Гильберта – Слончевского.

В 1996 г. Slonczewski расширил модель, чтобы учесть крутящий момент передачи вращения, т.е. крутящий момент, создаваемый при намагничивании вращение-поляризованный ток, протекающий через ферромагнетик. Обычно это выражается в единицах момента, определяемых как м = M / M_S:

${displaystyle {dot {mathbf {m}}} = - gamma mathbf {m} imes mathbf {H} _ {mathrm {eff}} + alpha mathbf {m} imes {dot {mathbf {m}}} + au _ { parallel} {frac {mathbf {m} imes (mathbf {x} imes mathbf {m})} {left | mathbf {x} imes mathbf {m} ight |}} + au _ {perp} {frac {mathbf {x } imes mathbf {m}} {left | mathbf {x} imes mathbf {m} ight |}}}$

куда ${displaystyle alpha}$ - безразмерный параметр затухания, ${displaystyle au _ {perp}}$ и ${displaystyle au _ {parallel}}$ крутящие моменты, и Икс - единичный вектор вдоль поляризации тока.^[8][9]

Ссылки и сноски

дальнейшее чтение

внешняя ссылка

• Апплет динамики намагничивания