WikiDer > Инвариант Лапласа

Laplace invariant

В дифференциальные уравнения, то Инвариант Лапласа любого из определенных дифференциальные операторы является некоторой функцией коэффициентов и их производные. Рассмотрим двумерный гиперболический дифференциальный оператор второго порядка

чьи коэффициенты

являются гладкими функциями двух переменных. Его Инварианты Лапласа иметь форму

Их важность обусловлена ​​классической теоремой:

Теорема: Два оператора вида эквивалентны относительно калибровочные преобразования тогда и только тогда, когда их инварианты Лапласа попарно совпадают.

Здесь операторы

называются эквивалент если есть калибровочное преобразование что переводит одно в другое:

Инварианты Лапласа можно рассматривать как "остатки" факторизации для исходного оператора А:

Если хотя бы один из инвариантов Лапласа не равен нулю, т.е.

то это представление является первым шагом Преобразования Лапласа – Дарбу. используется для решениянефакторизуемый двумерные линейные дифференциальные уравнения в частных производных (LPDE).

Если оба инварианта Лапласа равны нулю, т.е.

то дифференциальный оператор А факторизуема и соответствующее линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка разрешимо.

Инварианты Лапласа были введены для двумерного линейного дифференциального оператора в частных производных (LPDO) порядка 2 и гиперболического типа. Это частный случай обобщенные инварианты который может быть построен для двумерного LPDO произвольного порядка и произвольного типа; видеть Инвариантная факторизация LPDO.

Смотрите также

Рекомендации

  • Ж. Дарбу, "Leçons sur la théorie général des поверхностей", Gauthier-Villars (1912) (издание: второе)
  • G. Tzitzeica G., "Sur un теорема де М. Дарбу". Comptes Rendu de l'Academie des Sciences 150 (1910), стр. 955–956; 971–974
  • Л. Бьянки, "Lezioni di geometria Differenziale", Zanichelli, Болонья, (1924)
  • Шабат А.Б. К теории преобразований Лапласа – Дарбу. J. Theor. Математика. Phys. Vol. 103, N.1, стр. 170–175 (1995) [1]
  • А.Н. Лезнов, М. Савельев. "Теоретико-групповые методы интегрирования нелинейных динамических систем", Москва, Наука (1985). Английский перевод: Progress in Physics, 15. Birkhauser Verlag, Basel (1992)