WikiDer > Функция ци Лежандра

В математика, то Функция ци Лежандра это специальная функция чья Серия Тейлор также Серия Дирихле, данный

${ displaystyle chi _ { nu} (z) = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {2k + 1}} {(2k + 1) ^ { nu} }}.}$

Таким образом, он напоминает серию Дирихле для полилогарифм, и, действительно, тривиально выражается через полилогарифм как

${ displaystyle chi _ { nu} (z) = { frac {1} {2}} left [ operatorname {Li} _ { nu} (z) - operatorname {Li} _ { nu } (- z) right].}$

Функция ци Лежандра отображается как дискретное преобразование Фурьеотносительно порядка ν Дзета-функция Гурвица, а также Полиномы Эйлера, с явными отношениями, указанными в этих статьях.

Функция ци Лежандра является частным случаем Лерх трансцендентный, и задается

${ displaystyle chi _ { nu} (z) = 2 ^ {- nu} z , Phi (z ^ {2}, nu, 1/2).}$

Идентичности

${ displaystyle chi _ {2} (x) + chi _ {2} (1 / x) = { frac { pi ^ {2}} {4}} - { frac {i pi} { 2}} ln | x |.}$

${ displaystyle { frac {d} {dx}} chi _ {2} (x) = { frac {{ rm {artanh ,}} x} {x}}.}$

Интегральные отношения

${ displaystyle int _ {0} ^ { pi / 2} arcsin (r sin theta) d theta = chi _ {2} left (r right)}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { pi / 2} arctan (r sin theta) d theta = - { frac {1} {2}} int _ {0} ^ { pi } { frac {r theta cos theta} {1 + r ^ {2} sin ^ {2} theta}} d theta = 2 chi _ {2} left ({ frac {{ sqrt {1 + r ^ {2}}} - 1} {r}} right)}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { pi / 2} arctan (p sin theta) arctan (q sin theta) d theta = pi chi _ {2} left ({ frac {{ sqrt {1 + p ^ {2}}} - 1} {p}} cdot { frac {{ sqrt {1 + q ^ {2}}} - 1} {q}} правильно)}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { alpha} int _ {0} ^ { beta} { frac {dxdy} {1-x ^ {2} y ^ {2}}} = chi _ {2} ( alpha beta) qquad { rm {if}} ~~ | alpha beta | leq 1}$

использованная литература

• Вайсштейн, Эрик В. "Функция ци Лежандра". MathWorld.
• Джурдье Цвийович, Яцек Клиновски (1999). «Значения дзета-функций Лежандра и Гурвица при рациональных аргументах». Математика вычислений. 68 (228): 1623–1630. Дои:10.1090 / S0025-5718-99-01091-1.
• Джурдье Цвийович (2007). «Интегральные представления функции Лежандра». Журнал математического анализа и приложений. 332 (2): 1056–1062. arXiv:0911.4731. Дои:10.1016 / j.jmaa.2006.10.083.

Эта математический анализ–Связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это. v т е