WikiDer > Оператор Лейбница

Leibniz operator

В абстрактная алгебраическая логика, филиал математическая логика, то Оператор Лейбница инструмент, используемый для классификации дедуктивные системы, которые имеют точное техническое определение и охватывают большое количество логик. Оператор Лейбница был введен Вим Блок и Дон Пигоцци, два из основателей области, как средство абстрагирования хорошо известных Процесс Линденбаума – Тарского, что приводит к ассоциации Булевы алгебры к классическому пропозициональное исчисление, и сделать его применимым к самым разнообразным сентенциальная логика насколько возможно. Это оператор, который присваивает данной теории данной сентенциональной логики, воспринимаемой как свободная алгебра с последующей операцией над ее вселенной, наибольшую соответствие на алгебре, совместимой с теорией.

Формулировка

В этой статье мы вводим оператор Лейбница в частный случай классического исчисления высказываний, затем абстрагируем его до общего понятия, применяемого к произвольной сентенциальной логике, и, наконец, мы суммируем некоторые из наиболее важных следствий его использования в теории. абстрактной алгебраической логики.

Позволять

обозначают классическое исчисление высказываний. Согласно классическому процессу Линденбаума – Тарского, при наличии теории из ,если обозначает бинарное отношение на множестве формул , определяется

если и только если

куда обозначает обычную классическую связку пропозициональной эквивалентности, то оказывается конгруэнтностью на алгебре формул. Кроме того, частное является булевой алгеброй, и любая булева алгебра может быть сформирована таким образом.

Таким образом, многообразие булевых алгебр, которое, в терминологии алгебраической логики, эквивалентно алгебраическая семантика (алгебраический аналог) классического исчисления высказываний - это класс всех алгебр, образованный подходящими факторами свободные алгебры этими особыми видами конгруэнций.

Условие

что определяет эквивалентно условию

если и только если .

Переходя теперь к произвольной логике предложений

учитывая теорию , то Сравнение Лейбница связана с обозначается и определяется для всех, к

тогда и только тогда, когда для каждой формулы содержащий переменную и, возможно, другие переменные в списке , и все формулы формируя список такой же длины, как у у нас есть это

если и только если .

Оказывается, это бинарное отношение есть отношение конгруэнтности на алгебре формул и, фактически, альтернативно может быть охарактеризован как наибольшее сравнение на алгебре формул, которое совместимо с теорией , в том смысле, что если и , то мы должны также иметь . Именно это сравнение играет ту же роль, что и сравнение, используемое в традиционном процессе Линденбаума-Тарского, описанном выше в контексте произвольной логики предложений.

Однако для произвольных сентенциальных логик факторные свободных алгебр по этим сравнениям Лейбница по разным теориям дают все алгебры в классе, который образует естественный алгебраический аналог сентенциальной логики. Это явление происходит только в случае «хороших» логик, и одна из основных целей абстрактной алгебраической логики состоит в том, чтобы сделать это расплывчатое понятие «хорошей» логики в этом смысле математически точным.

Оператор Лейбница

оператор, отображающий теорию заданной логики с конгруэнцией Лейбница

связано с теорией. Таким образом, формально

отображение из коллекции

теорий сентенциальной логики

в коллекцию

всех сравнений на алгебре формул сентенциональной логики.

Иерархия

Оператор Лейбница и изучение различных его свойств, которые могут или не могут быть удовлетворены для конкретной сентенциальной логики, привели к тому, что теперь известно как абстрактная алгебраическая иерархия или же Иерархия Лейбница сентенциальной логики. Логика классифицируется по различным уровням этой иерархии в зависимости от того, насколько сильна связь между логикой и ее алгебраическим аналогом.

Свойства оператора Лейбница, которые помогают классифицировать логики, - это монотонность, инъективность, непрерывность и коммутативность с обратными подстановками. Например, протоалгебраический логики, образующие самый широкий класс в иерархии, т. е. тот, который находится внизу иерархии и содержит все другие классы, характеризуются монотонностью оператора Лейбница в своих теориях. Другие известные классы образуются эквивалентный логика, слабо алгебраизируемый логики и алгебраизируемой логики, среди прочего.

Существует обобщение оператора Лейбница в контексте категориальной абстрактной алгебраической логики, которое позволяет применять широкий спектр методов, которые ранее применялись только в рамках сентенциальной логики, к логикам, формализованным как -учреждения. -институциональная структура значительно шире, чем структура сентенциальной логики, поскольку она позволяет включать в язык несколько сигнатур и квантификаторов и обеспечивает механизм для обработки логики, которая не основана на синтаксисе.

Рекомендации

  • Д. Пигоцци (2001). «Абстрактная алгебраическая логика». В М. Хазевинкель (ред.). Энциклопедия математики: Приложение III.. Springer. С. 2–13. ISBN 1-4020-0198-3.
  • Шрифт, Дж. М., Янсана, Р., Пигоцци, Д., (2003), Обзор абстрактной алгебраической логики, Studia Logica 74: 13–79.
  • Януш Челаковски (2001). Протоалгебраические логики. Springer. ISBN 978-0-7923-6940-0.

внешняя ссылка