WikiDer > Пример Льюиса - Википедия

в математический исследование уравнения в частных производных, Пример Леви это знаменитый пример, благодаря Ганс Леви, линейного уравнения в частных производных без решений. Это показывает, что аналог Теорема Коши – Ковалевской не выполняется в гладкой категории.

Исходный пример не является явным, поскольку в нем используется Теорема Хана – Банаха, но с тех пор были обнаружены различные явные примеры того же характера Гарольд Якобовиц.

В Теорема Мальгранжа – Эренпрейса заявляет (примерно), что линейные дифференциальные уравнения в частных производных с постоянные коэффициенты всегда есть хотя бы одно решение; Пример Леви показывает, что этот результат нельзя распространить на линейные уравнения в частных производных с полиномиальными коэффициентами.

Пример

Заявление выглядит следующим образом

На × ℂ существует гладкий комплексная функция ${ Displaystyle F (т, г)}$ такое, что дифференциальное уравнение

${ displaystyle { frac { partial u} { partial { bar {z}}}} - iz { frac { partial u} { partial t}} = F (t, z)}$

не допускает решения ни на одном открытом множестве. Обратите внимание, что если ${ displaystyle F}$ аналитичен, то Теорема Коши – Ковалевской означает, что решение существует.

Леви конструирует это ${ displaystyle F}$ используя следующий результат:

Предположим, что на ℝ × ${ Displaystyle и (т, г)}$ - функция, удовлетворяющая в окрестности начала координат

${ displaystyle { frac { partial u} { partial { bar {z}}}} - iz { frac { partial u} { partial t}} = varphi ^ { prime} (т) }$

для некоторых C¹ функция φ. потом φ должен быть вещественно-аналитическим в (возможно меньшей) окрестности начала координат.

Это можно истолковать как теорему несуществования, взяв φ быть просто гладкой функцией. Пример Леви берет это последнее уравнение и в некотором смысле переводит его неразрешимость в каждую точку из ℝ × ℂ. Метод доказательства использует Категория Бэра аргумент, поэтому в определенном точном смысле почти все уравнения этого вида неразрешимы.

Мизохата (1962) позже выяснилось, что еще более простое уравнение

${ displaystyle { frac { partial u} { partial x}} + ix { frac { partial u} { partial y}} = F (x, y)}$

в зависимости от 2-х реальных переменных Икс и у иногда не имеет решения. Это почти самый простой возможный оператор в частных производных с непостоянными коэффициентами.

Значение для CR-многообразий

А CR-коллектор оснащен цепной комплекс дифференциальных операторов, формально подобных Комплекс Дольбо на комплексное многообразие, называется ${ displaystyle scriptstyle { bar { partial}} _ {b}}$-сложный. Комплекс Дольбо допускает версию Лемма Пуанкаре. На языке снопы, это означает, что комплекс Дольбо точен. Однако пример Леви показывает, что ${ displaystyle scriptstyle { bar { partial}} _ {b}}$-комплекс почти никогда не бывает точным.

Рекомендации

• Леви, Ганс (1957), «Пример гладкого линейного уравнения в частных производных без решения», Анналы математики, 66 (1): 155–158, Дои:10.2307/1970121, JSTOR 1970121, МИСТЕР 0088629, Zbl 0078.08104.
• Мизохата, Сигеру (1962), "Нулевые решения и неаналитические решения", Журнал математики Киотского университета (На французском), 1 (2): 271–302, МИСТЕР 0142873, Zbl 0106.29601.
• Розэ, Жан-Пьер (2001) [1994], «Оператор Леви и оператор Мизохата», Энциклопедия математики, EMS Press