В элементарном теория чисел, то лемма о поднятии экспоненты (LTE) предоставляет несколько формул для вычисления p-адическая оценка
специальных форм целых чисел. Лемма названа так потому, что описывает шаги, необходимые для «поднятия» показателя степени
в таких выражениях. Это связано с Лемма Гензеля.
Фон
Точное происхождение леммы LTE неясно; результат с его нынешним названием и формой стал известен только в течение последних 10–20 лет.[1] Однако несколько ключевых идей, использованных в его доказательстве, были известны Гаусс и упоминается в его Disquisitiones Arithmeticae.[2] Несмотря на то, что главным образом математические олимпиады, иногда его применяют к темам исследований, например эллиптические кривые.[3][4]
Заявления
Для любых целых чисел
и положительные целые числа
и
, куда
такое простое число, что
и
, выполняются следующие тождества:
- Когда
странно:- Если
,
. - Если
это странно и
,
.
- Когда
:- Если
,
. - Если
и
даже,
.
- Для всех
:- Если
и
,
. - Если
,
и
странный,
.
Схема доказательства
Базовый вариант
Базовый случай
когда
доказано первым. Потому что
,

Дело в том, что
завершает доказательство. Условие
для нечетных
похож.
Общий случай (нечетный п)
Через биномиальное разложение, замена
можно использовать в (1), чтобы показать, что
потому что (1) кратно
но нет
.[1] Так же,
.
Тогда, если
записывается как
куда
, базовый случай дает
. Индукцией по
,

Аналогичный аргумент можно применить для
.
Общий случай (п = 2)
Доказательство странного
случай не может применяться напрямую, когда
потому что биномиальный коэффициент
является лишь целым кратным
когда
странно.
Однако можно показать, что
когда
написав
куда
и
целые числа с
странно и отмечая, что

потому что с тех пор
, каждый множитель в разности шага квадратов имеет вид
сравнимо с 2 по модулю 4.
Более сильное заявление
когда
доказывается аналогично.[1]
В соревнованиях
Пример проблемы
Лемму LTE можно использовать для решения 2020 AIME I # 12:
Позволять
- наименьшее положительное целое число, для которого
делится на
Найдите количество положительных целых делителей числа
.[5]
Решение. Обратите внимание, что
. Используя лемму LTE, поскольку
и
но
,
. Таким образом,
. По аналогии,
но
, так
и
.
С
, множители 5 обращаются, замечая, что, поскольку остатки
по модулю 5 следовать циклу
и те из
следовать циклу
, остатки
по модулю 5 цикл по последовательности
. Таким образом,
если только
для некоторого положительного целого числа
. Теперь можно снова применить лемму LTE:
. С
,
. Следовательно
.
Комбинируя эти три результата, мы обнаружили, что
, у которого есть
положительные делители.
Рекомендации