WikiDer > Лемма Линделёфа - Википедия

Lindelöfs lemma - Wikipedia

В математика, Лемма Линделёфа простой, но полезный лемма в топология на реальная линия, названный в честь Финский математик Эрнст Леонард Линделёф.

Утверждение леммы

Пусть реальная линия имеет стандартную топологию. Затем каждые открыто подмножество реальной линии счетный союз открытых интервалы.

Обобщенное заявление

Лемма Линделёфа также известна как утверждение, что каждое открытое покрытие в секундомер имеет счетный прикрытие (Келли 1955: 49). Это означает, что каждый секундомер также Пространство Линделёфа.

Доказательство обобщенного утверждения

Учитывать ${ displaystyle B = { beta: beta { text {является элементом основы}} }}$ . С ${ displaystyle X}$ имеет счетную базу, мы рассматриваем его как ${ Displaystyle B = left { beta _ {1}, beta _ {2}, cdots right }}$ до бесконечности. Считайте открытую крышку, ${ Displaystyle { mathcal {F}} = bigcup _ { alpha} U _ { alpha}}$ . Чтобы подготовиться к следующему выводу, для удобства мы определяем два набора: ${ Displaystyle B _ { alpha}: = left { beta in B: beta subset U _ { alpha} right }}$ , ${ displaystyle B ': = bigcup _ { alpha} B _ { alpha}}$ .

Прямое, но важное наблюдение: ${ Displaystyle U _ { alpha} = bigcup _ { beta in B _ { alpha}} beta}$ что из определения базы. (Здесь мы используем определение «базы» из MAArmstrong, Basic Topology, глава 2, §1, т. Е. Набор открытых множеств, такой, что каждое открытое множество является объединением членов этого набора.) Следовательно, мы можем получить который,

${ Displaystyle { mathcal {F}} = bigcup _ { alpha} U _ { alpha} = bigcup _ { alpha} bigcup _ { beta in B _ { alpha}} beta = bigcup _ { beta in B '} beta}$

куда ${ displaystyle B ' subset B}$ , и поэтому не более чем счетно. Далее по построению для каждого ${ displaystyle beta in B '}$ существует некоторое ${ displaystyle delta _ { beta}}$ такой, что ${ displaystyle beta в U _ { delta _ { beta}}}$ . Поэтому мы можем написать