WikiDer > Логарифмические неравенства Соболева

Logarithmic Sobolev inequalities

В математика, логарифмические неравенства Соболева являются классом неравенств, содержащих норму функции ж, его логарифм и градиент ${ displaystyle nabla f}$ . Эти неравенства были обнаружены и названы Леонард Гросскто их основал ^[1]^[2] в форме, не зависящей от размеров, в контексте конструктивная квантовая теория поля. Подобные результаты были обнаружены другими математиками и раньше, и известно множество вариантов таких неравенств.

Валовой^[3] доказали неравенство:

{ displaystyle int _ { mathbb {R} ^ {n}} { big |} f (x) { big |} ^ {2} log { big |} f (x) { big | } , d nu (x) leq int _ { mathbb {R} ^ {n}} { big |} nabla f (x) { big |} ^ {2} , d nu (x) + | f | _ {2} ^ {2} log | f | _ {2},}

куда ${ Displaystyle | е | _ {2}}$ это ${ Displaystyle L ^ {2} ( ню)}$ -норма ${ displaystyle f}$ , с ${ displaystyle nu}$ быть стандартным Гауссова мера на ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}.}$ В отличие от классических Соболевские неравенства, Логарифмическое неравенство Соболева Гросса не имеет константы, зависящей от размерности, что делает его применимым в бесконечномерном пределе.