WikiDer > Неравенство Лумиса – Уитни

Loomis–Whitney inequality

В математика, то Неравенство Лумиса – Уитни это результат геометрия, что в простейшем виде позволяет оценить «размер» -размерный устанавливается по размерам -мерные проекции. Неравенство имеет приложения в геометрия падения, изучение так называемых «решетчатых животных» и другие направления.

Результат назван в честь Американец математики Линн Гарольд Лумис и Хасслер Уитни, и был опубликован в 1949 году.

Формулировка неравенства

Исправить размер и рассмотрим прогнозы

Для каждого 1 ≤ jd, позволять

Тогда Неравенство Лумиса – Уитни держит:

Эквивалентно, принимая

Особый случай

Неравенство Лумиса – Уитни можно использовать, чтобы связать Мера Лебега подмножества Евклидово пространство его «средней ширине» в координатных направлениях. Позволять E быть некоторыми измеримое подмножество из и разреши

быть индикаторная функция проекции E на j-я координатная гиперплоскость. Отсюда следует, что для любой точки Икс в E,

Следовательно, по неравенству Лумиса – Уитни

и поэтому

Количество

можно рассматривать как среднюю ширину в -ое координатное направление. Эта интерпретация неравенства Лумиса – Уитни также верна, если мы рассматриваем конечное подмножество евклидова пространства и заменяем меру Лебега на счетная мера.

Обобщения

Неравенство Лумиса – Уитни является частным случаем Неравенство Браскампа – Либа, в котором проекции πj выше заменены более общими линейные карты, не обязательно все отображения на пространства одной размерности.

Рекомендации

  • Лумис, Линн Х.; Уитни, Хасслер (1949). «Неравенство, связанное с изопериметрическим неравенством». Бюллетень Американского математического общества. 55 (10): 961–962. Дои:10.1090 / S0002-9904-1949-09320-5. МИСТЕР0031538