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Formel der Maschine ist ein Ausdruck für die Zahl ${Anzeigestil pi}$ (pi), zusammengestellt 1706 vom britischen Professor AstronomieJohn Machin, mit was er ${Anzeigestil pi}$ bei 100 Dezimalstellen berechnet.^[1] Die Formel lautet:

${displaystyle {frac {pi }{4}}=4arctan {frac {1}{5}}-arctan {frac {1}{239}}}$

Umleitung

Für die Tangente aus der Summe zweier Winkel:

${displaystyle an(x y)={frac { an(x) an(y)}{1- an(x) an(y)}}}$

Daraus folgt:

${displaystyle arctan {frac {a}{m}} arctan {frac {b}{n}} = arctan {frac {an bm}{mn-ab}}}$,

unter der Vorraussetzung, dass

${displaystyle -{frac {pi}{2}}$

Anwendungszubehör:

${displaystyle 2arctan {frac {1}{5}} = arctan {frac {1}{5}} arctan {frac {1}{5}} = arctan {frac {5 5}{25-1}} = arctan { frak {5}{12}}}$

und

${displaystyle 4arctan {frac {1}{5}} = arctan {frac {5}{12}} arctan {frac {5}{12}} = arctan {frac {60 60}{144-25}} = arctan { frak {120}{119}}}$,

so dass

${displaystyle 4arctan {frac {1}{5}}-{frac {pi }{4}}=4arctan {frac {1}{5}}-arctan {frac {1}{1}}=arctan {frac {120 }{119}} Arktan {frac {-1}{1}}=}$

${displaystyle = arctan {frac {120-119}{119 120}} = arctan {frac {1}{239}}}$

Maschine benutzt die Entwicklung von Taylor-Serien des Arkustangens, das erst kürzlich entwickelt wurde, für seine Berechnung von ${Anzeigestil pi}$.

Verweise