WikiDer > Мажоризация

Majorization

В математика, мажоризация это Предварительный заказ на векторов из действительные числа. Для вектора , обозначим через вектор с такими же компонентами, но отсортированный по убыванию. Данный мы говорим, что слабо мажоритарно (или доминирует) снизу написано как если только

Эквивалентно мы говорим, что является слабо мажоритарный (или преобладают) снизу, записанный как .

Если и вдобавок мы говорим, что мажоритарный (или доминирует) , записанный как . В равной степени мы говорим, что является мажоритарный (или преобладают) , записанный как .

Обратите внимание, что порядок мажорирования не зависит от порядка компонентов векторов. или же . Мажоризация - это не частичный заказ, поскольку и не подразумевают , это только означает, что компоненты каждого вектора равны, но не обязательно в одном порядке.

Обратите внимание, что обозначения в математической литературе противоречивы: некоторые используют обратные обозначения, например, заменяется на .

Функция как говорят Шур выпуклый когда подразумевает . По аналогии, является Шур вогнутый когда подразумевает

Частичный порядок мажорирования на конечных множествах, описанный здесь, может быть обобщен на Лоренц заказывает, частичный заказ на функции распределения. Например, распределение богатства является Лоренц-большим, чем другой, если его Кривая Лоренца ложь ниже другой. Таким образом, распределение богатства по Лоренцу имеет более высокую Коэффициент Джини, и есть еще Дифференциация доходов.

Примеры

Порядок записей не влияет на мажорирование, например, утверждение просто эквивалентно .

(Сильная) мажоритарность: . Для векторов с п составные части

(Слабая) мажоритарность: . Для векторов с п составные части:

Геометрия мажоризации

Рисунок 1. Пример 2D-мажоризации

За у нас есть если и только если находится в выпуклой оболочке всех векторов, полученных перестановкой координат .

На рисунке 1 изображена выпуклая оболочка в 2D для вектора . Обратите внимание, что центр выпуклой оболочки, который в данном случае является интервалом, является вектором . Это «наименьший» вектор, удовлетворяющий для данного вектора .

Рисунок 2. Пример 3D-мажоризации

На рисунке 2 изображена выпуклая оболочка в 3D. Центр выпуклой оболочки, которая в данном случае представляет собой двумерный многоугольник, является "наименьшим" вектором. удовлетворение для данного вектора .

Эквивалентные условия

Каждое из следующих утверждений верно тогда и только тогда, когда :

  • для некоторых дважды стохастическая матрица .[1]:Thm. 2.1 Это эквивалентно высказыванию можно представить как выпуклое сочетание перестановок ; можно проверить, что существует такое выпуклое представление, используя не более перестановки .[2]
  • Из мы можем производить конечной последовательностью «операций Робин Гуда», где мы заменяем два элемента и с и соответственно для некоторых .[1]:11
  • Для каждой выпуклой функции , .[1]:Thm. 2,9
    • На самом деле достаточно частного случая: и для каждого т, .[3]
  • .[4]:Упражнение 12.17

В линейной алгебре

  • Предположим, что для двух реальных векторов , мажоритарный . Тогда можно показать, что существует набор вероятностей и набор перестановки такой, что .[2] В качестве альтернативы можно показать, что существует дважды стохастическая матрица такой, что
  • Мы говорим, что Эрмитов оператор, , мажоритарный другой, , если набор собственных значений мажоритарный .

В теории рекурсии

Данный , тогда говорят мажорировать если для всех , . Если есть какие-то так что для всех , тогда говорят доминировать (или же в конечном итоге доминировать) . В качестве альтернативы, предыдущие термины часто определяются с учетом строгого неравенства вместо в предыдущих определениях.

Обобщения

Различные обобщения мажоризации обсуждаются в главах 14 и 15 справочника. Неравенства: теория мажоризации и ее приложения. Альберт В. Маршалл, Инграм Олкин, Барри Арнольд. Второе издание. Серия Спрингера в статистике. Спрингер, Нью-Йорк, 2011. ISBN 978-0-387-40087-7

Смотрите также

Примечания

  1. ^ а б c Барри С. Арнольд. «Мажоризация и порядок Лоренца: краткое введение». Конспект лекций Springer-Verlag по статистике, т. 43, 1987.
  2. ^ а б Синчжи, Чжань (2003). «Точная теорема Радо для мажоритаций». Американский математический ежемесячник. 110 (2): 152–153. Дои:10.2307/3647776.
  3. ^ Сообщение от fleeting_guest от 3 июля 2005 г. Тема "Неравенство Караматы", AoPS форумы сообщества. В архиве 11 ноября, 2020.
  4. ^ Нильсен, Майкл А.; Чуанг, Исаак Л. (2010). Квантовые вычисления и квантовая информация (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-00217-3. OCLC 844974180.

Рекомендации

  • Дж. Карамата. "Sur une inegalite относительные вспомогательные выпуклости". Publ. Математика. Univ. Белград 1, 145–158, 1932.
  • Г. Х. Харди, Дж. Э. Литтлвуд и Г. Полиа, Неравенства, 2-е издание, 1952 г., Cambridge University Press, Лондон.
  • Неравенства: теория мажоризации и ее приложения Альберт В. Маршалл, Инграм Олкин, Барри Арнольд, второе издание. Серия Спрингера в статистике. Спрингер, Нью-Йорк, 2011. ISBN 978-0-387-40087-7
  • Неравенства: теория мажоризации и ее приложения (1980) Альберт В. Маршалл, Инграм Олкин, Academic Press, ISBN 978-0-12-473750-1
  • Посвящение книге Маршалла и Олкина «Неравенства: теория мажоризации и ее приложения».
  • Матричный анализ (1996) Раджендра Бхатия, Спрингер, ISBN 978-0-387-94846-1
  • Темы матричного анализа (1994) Роджер А. Хорн и Чарльз Р. Джонсон, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46713-1
  • Мажоризация и матричные монотонные функции в беспроводной связи (2007) Эдуард Йорсвик и Хольгер Бош, Now Publishers, ISBN 978-1-60198-040-3
  • Мастер-класс Коши Шварца (2004) Дж. Майкл Стил, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54677-5

внешняя ссылка

Программного обеспечения