WikiDer > Лемма Массера - Википедия

В теория устойчивости и нелинейное управление, Лемма Массеры, названный в честь Хосе Луис Массера, занимается построением Функция Ляпунова доказать устойчивость динамическая система.^[1] Лемма фигурирует в (Массера 1949, п. 716) в качестве первой леммы в разделе 12 и в более общем виде в (Массера 1956, п. 195) в качестве леммы 2. В 2004 г. первоначальная лемма Массеры для функций одной переменной была распространена на случай многих переменных, и полученная лемма была использована для доказательства устойчивости динамических систем с переключениями, где общая функция Ляпунова описывает устойчивость нескольких режимов и переключение сигналов.

Оригинальная лемма Массеры

Лемма Массеры используется при построении обратной функции Ляпунова следующего вида (также известной как интегральная конструкция)

${ Displaystyle V ( zeta) = int _ {0} ^ { infty} G (| varphi (t, zeta) |) dt}$

для асимптотически устойчивой динамической системы, устойчивая траектория которой, начиная с ${ displaystyle zeta { text {is}} varphi (t, zeta)}$

Лемма гласит:

Позволять ${ displaystyle g: [0, infty) rightarrow R}$ - положительная, непрерывная, строго убывающая функция с ${ displaystyle g (t) rightarrow 0}$ в качестве ${ Displaystyle т rightarrow infty}$. Позволять ${ displaystyle h: [0, infty) rightarrow R}$ - положительная непрерывная неубывающая функция. Тогда существует функция ${ Displaystyle G: [0, infty) rightarrow [0, infty)}$ такой, что

• ${ displaystyle G}$ и его производная ${ displaystyle G '}$ классныеK функции определены для всех т ≥ 0
• Существуют положительные постоянные k₁, k₂, такое, что для любой непрерывной функции ты удовлетворяющий 0 ≤ты(т) ≤ грамм(т) для всех т ≥ 0,

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} G (u (t)) , dt leq k_ {1}; quad int _ {0} ^ { infty} G '(u (т )) h (t) , dt leq k_ {2}.}$

Расширение функций с несколькими переменными

Лемма Массеры для функций одной переменной была распространена на случай многих переменных Ву и Либерзоном.^[2]

Позволять ${ displaystyle g: [0, infty) rightarrow R}$ - положительная, непрерывная, строго убывающая функция с ${ displaystyle g (t) rightarrow 0}$ в качестве ${ Displaystyle т rightarrow infty}$. Позволять ${ displaystyle h: [0, infty) rightarrow R}$ - положительная непрерывная неубывающая функция. Тогда существует дифференцируемая функция ${ Displaystyle G: [0, infty) rightarrow [0, infty)}$ такой, что

• ${ displaystyle G}$ и его производная ${ displaystyle G '}$ классныеK функции на ${ displaystyle [0, infty)}$.
• Для каждого положительного целого числа ${ displaystyle l}$, существуют положительные постоянные k₁, k₂, такая, что для любой непрерывной функции ${ Displaystyle и: mathbb {R} ^ {l} rightarrow [0, infty)}$ удовлетворение

${ displaystyle 0 leq u (t_ {1}, ldots, t_ {l}) leq g (t_ {1} + cdots + t_ {l})}$ для всех ${ displaystyle t_ {i} geq 0}$, ${ Displaystyle я = 1, ldots, л}$

у нас есть

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} cdots int _ {0} ^ { infty} G (u (s_ {1}, ldots, s_ {l})) ds_ {1} ldots ds_ {l}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} cdots int _ {0} ^ { infty} G '(u (s_ {1}, ldots, s_ {l})) times h ( s_ {1} + cdots + s_ {l}) ds_ {1} ldots ds_ {l}$

Рекомендации

• Массера, Хосе Луис (1949), «Об условиях устойчивости Ляпунова», Анналы математики, Вторая серия, 50 (3): 705–721, Дои:10.2307/1969558, JSTOR 1969558, МИСТЕР 0035354
• Массера, Хосе Луис (1956), «Вклад в теорию устойчивости», Анналы математики, Вторая серия, 64 (1): 182–206, Дои:10.2307/1969955, JSTOR 1969955, МИСТЕР 0079179
• Массера, Хосе Луис; Шеффер, Хуан Хорхе (1966), Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства, Чистая и прикладная математика. 21, Бостон, Массачусетс: Академическая пресса, МИСТЕР 0212324

Сноски