WikiDer > Теорема о среднем значении (разделенные разности) - Википедия

Mean value theorem (divided differences) - Wikipedia

В математический анализ, то Теорема о среднем значении для разделенных разностей обобщает теорема о среднем значении к высшим производным.[1]

Формулировка теоремы

Для любого п + 1 попарно различные точки Икс0, ..., Иксп в области пкратно дифференцируемая функция ж существует внутренняя точка

где п-я производная от ж равно п ! раз пth разделенная разница в этих точках:

За п = 1, то есть две функциональные точки, получается простая теорема о среднем значении.

Доказательство

Позволять быть Полином интерполяции Лагранжа за ж в Икс0, ..., ИкспТогда из Форма Ньютона из что самый высокий срок является .

Позволять - остаток от интерполяции, определяемый . потом имеет нули: Икс0, ..., Иксп.При применении Теорема Ролля первым , затем к и так далее, пока , мы находим, что имеет ноль . Это означает, что

,

Приложения

Теорема может быть использована для обобщения Столярского к более чем двум переменным.

Рекомендации

  1. ^ де Бур, К. (2005). «Разделенные различия». Surv. Прибл. Теория. 1: 46–69. МИСТЕР 2221566.