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Das Eulers Methode ist die einfachste Methode, um numerisch Lösung von a . berechnen Differentialgleichung mit Anfangsbedingungen. Die Methode wurde entwickelt von Leonhard Euler und 1768 in seinem Buch veröffentlicht Institutionen Calculi Integralis.

Die Methode

Zwei Schritte in der Euler-Methode

Eine numerische Lösung der Differentialgleichung:

${Anzeigestil x'=f(t,x)}$

mit Anfangsbedingung

${displaystyle x(t_{0})=x_{0}}$

kann Schritt für Schritt erfolgen, mit Schrittgröße ${displaystyle h}$, erhält man in den Punkten ${displaystyle t_{n}=t_{0}nh}$ durch:

${Anzeigestil t_{k 1}=t_{k} h}$

und

${displaystyle x_{k 1}=x_{k} hf(t_{k},x_{k})}$

Die berechneten Werte ${displaystyle x_{k}}$ sind Annäherungen an die wahren Werte ${Anzeigestil x(t_{k})}$, die exakte Lösung des Anfangswertproblems. Je kleiner die Schrittweite ${displaystyle h}$ gewählt wird, desto mehr Berechnungen sind erforderlich, aber desto genauer werden die Näherungen.

Umleitung

Für die Herleitung der Methode wird das Anfangswertproblem zu wordt ^[1]

${displaystyle x'=f(t,x)qquad x(t_{0})=x_{0}}$

umgerechnet in das Äquivalent Integralgleichung

${displaystyle x(t)=x_{0} int _{t_{0}}^{t}f(s,x(s)),mathrm {d} s}$

Die Idee hinter Eulers Methode ist einfach Quadraturformel für das Integral und approximieren Sie den Integranden in jedem Schritt durch den Wert an der linken Intervallgrenze:^[2]

${displaystyle x(t_{k 1})=x(t_{k}) int _{t_{k}}^{t_{k 1}}f(s,x(s)),mathrm {d} sapprox x_ {k} int _{t_{k}}^{t_{k 1}}f(t_{k},x_{k}),mathrm {d} s=x_{k} hf(t_{k},x_ {k})=x_{k 1}}$

Literatur

• E. Hairer, S.P. Norsett, G. Wanner: Gewöhnliche Differentialgleichungen I . lösen, Springer Verlag
• Herr Hermann: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen, Anfangs- und Randwertprobleme, Oldenbourg Verlag, München und Wien, 2004, ISBN 3-486-27606-9

Verweise

1. ↑Arnold Reusken, Numerik für Ingenieur- und Naturwissenschaftler, S.378, Springer, Berlin, 2006, ISBN 3-540-25544-3
2. ↑ebenda. s. 381