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In dem Mathematik beschreibt die Methode von Frobenius ein Weg durch a Potenzreihe eine Lösung von einer gewöhnlichen finden Differentialgleichung zweiter Ordnung der Form

${displaystyle z^{2}u'' p(z)zu' q(z)u=0}$

Teilen durch ${displaystyle z^{2}}$, liefert

${displaystyle u'' {p(z) über z}u' {q(z) über z^{2}}u=0}$

was mit einer gewöhnlichen Potenzreihe wie . nicht lösbar ist ${Anzeigestil p(z)/z}$ oder ${Anzeigestil q(z)/z^{2}}$Singular ist in ${Anzeigestil z=0}$. Die Methode von Frobenius ermöglicht es, eine Lösung in Form einer Potenzreihe unter der Bedingung aufzuschreiben, dass ${Anzeigestil p(z)}$ und ${Anzeigestil q(z)}$ in 0 selbst regulär sind, oder wenn sie überall regulär sind und der Grenzwert auf Null existiert und endlich ist.

Beschreibung

Die Methode von Frobenius besagt, dass wir eine Potenzreihe der Form

${displaystyle u(z)=sum _{k=0}^{infty }A_{k}z^{k r}}$

Die Funktionen ${Anzeigestil p(z)}$ und ${Anzeigestil q(z)}$ werden auch in Serie entwickelt. Setzt man all dies dann in die Differentialgleichung ein, findet man typischerweise so etwas wie:

${displaystyle a_{0}z^{r-2} a_{1}z^{r-1} a_{2}z^{r} a_{3}z^{r 1} ldots =0}$

mit ${displaystyle a_{0}, a_{1},ldots }$ neue Koeffizienten, die sich aus den Berechnungen ergeben. Eine Potenzreihe kann nur dann für alle Werte der Variablen null sein, wenn alle Koeffizienten null sind. Wir finden also die Gleichungen:

${displaystyle { egin{cases}a_{0}=0/a_{1}=0/a_{2}=0/vdots end{cases}}}$

Der Koeffizient ${displaystyle a_{0}}$ hängt normalerweise von af ab ${displaystyle r}$, also ergibt dies eine Gleichung für ${displaystyle r}$ (die sogenannte indikativer Vergleich). Auf dieser Grundlage ist der Wert von ${displaystyle r}$ bestimmt sind. Die anderen Gleichungen geben den Koeffizienten Werte an ${Displaystil A_{k}}$ der Potenzreihe, die wir als Lösung vorgeschlagen haben.

Im Allgemeinen liefert die Indiziengleichung zwei Lösungen für ${displaystyle r}$. Diese beiden Werte können dann in den anderen Gleichungen verwendet werden, um zwei verschiedene Lösungssätze für die zu erstellen ${Displaystil A_{k}}$finden. Ist die Differenz zwischen diesen Lösungen eine ganze Zahl oder fallen die beiden Lösungen zusammen, wird nur eine Potenzreihe gefunden.

Beim Lösen der Gleichungen können einige der Koeffizienten (typischerweise der erste oder die ersten beiden) nicht bestimmt werden. Diese bleiben daher bis zum Schluss unbekannt und die Lösung enthält eine Unbestimmtheit. Dies muss durch die Randbedingungen des Problems beseitigt werden.

Ein Beispiel

Betrachten Sie die Gleichung

${displaystyle zu''(z) (a-z)u'(z)-bu(z)=0}$

Damit sind die Bedingungen des Frobenius-Verfahrens erfüllt. Als Lösung schlagen wir folgende Reihe vor:

${displaystyle u(z)=sum _{k=0}^{infty }A_{k}z^{k r}}$

Wir differenzieren dies zu ${Anzeigestil z}$, dann finden wir

${displaystyle { egin{aligned}u'(z)&=sum _{k=0}^{infty}(kr)A_{k}z^{k r-1} ,/u''(z)&= Summe _{k=0}^{infty}(kr)(k r-1)A_{k}z^{k r-2} .end{ausgerichtet}}}$

Das finden wir auch

${displaystyle { egin{aligned}zu'(z)&=sum _{k=0}^{infty}(kr)A_{k}z^{kr} ,/u'(z)&=sum _{k =-1}^{infty}(kr 1)A_{k 1}z^{kr}=rA_{0}z^{r-1} Summe _{k=0}^{infty}(kr 1)A_ {k 1}z^{kr} ,/zu''(z)&=summe _{k=-1}^{infty}(kr 1)(kr)A_{k 1}z^{kr}=r (r-1)A_{0}z^{r-1} Summe _{k=0}^{infty}(kr 1)(kr)A_{k 1}z^{kr} ,end{ausgerichtet}} }$

wobei in der zweiten und dritten Zeile der Index ${displaystyle k}$ um eins verschoben. Setzen wir dies in die Differentialgleichung ein, die wir lösen mussten, finden wir:

${displaystyle (r(r-1)A_{0} arA_{0})z^{r-1} Summe _{k=0}^{infty }{Groß (}(kr 1)(kr)A_{k 1} a(kr 1)A_{k 1}-(kr)A_{k}-bA_{k}{Groß )}z^{kr}=0}$

Dies kann vereinfacht werden zu

${displaystyle r(r a-1)A_{0}z^{r-1} Summe _{k=0}^{infty }{Groß (}(kr 1)(kra)A_{k 1}-(krb )A_{k}{Groß )}z^{kr}=0}$

Nehmen wir an, der Koeffizient von ${Displaystil z^{r-1}}$ gleich Null, dann finden wir

${displaystyle r=0quad {ext{or}}quad r=1-a}$

Für den Fall, dass ${displaystyle a=1}$, dann hat dies nur eine Lösung. Ansonsten gilt für die anderen Koeffizienten:

${displaystyle A_{k 1}={frac {k r b}{(k r 1)(k r a)}}A_{k}}$

Der Koeffizient ${Displaystil A_{0}}$ lässt sich damit nicht bestimmen. Alle anderen Koeffizienten sind ein Vielfaches davon, nämlich:

${displaystyle { egin{ausgerichtet}&A_{k}={frac {(k b-1)(k b-2)cdots b}{(k a-1)(k a-2)cdots acdot k(k-1 )cdots 1}}A_{0}={frac {(b)_{k}}{(a)_{k}}}{frac {A_{0}}{k!}}&quad (r=0) /&A_{k}={frac {(k ba)(k ba-1)cdots (ba 1)}{(ka 1)(ka 2)cdots (2-a)cdot k(k-1)cdots 1} }A_{0}={frac {(ba 1)_{k}}{(2-a)_{k}}}{frac {A_{0}}{k!}}&&quad (r=1-a )Ende{ausgerichtet}}}$

wo die beiden Fälle für ${displaystyle r}$ werden separat geschrieben. Die Notation ${displaystyle (x)_{n}}$ ist ein Pochhammer-Symbol oder steigend Fakultät. Beachten Sie, dass wenn ${Anzeigestil a}$ und natürliche Zahl ist die zweite Menge von Koeffizienten aus einem gegebenen Index ${displaystyle k}$ unendlich wird, weil der Nenner eine Null hat. In diesem Fall liefert die Methode von Frobenius keine zweite Lösung der Gleichung. Ansonsten sind die beiden Lösungen konfluente hypergeometrische Funktionen:

${displaystyle { egin{aligned}&u(z)=A_{0}sum _{k=0}^{infty }{frac {(b)_{k}}{(a)_{k}}}{frac {z^{k}}{k!}}=A_{0} {}_{1}F_{1}(b;a;z)&&quad (r=0)/&u(z)=A_{0} z^{1-a}Summe _{k=0}^{infty }{frac {(ba 1)_{k}}{(2-a)_{k}}}{frac {z^{k} }{k!}}=A_{0}z^{1-a} {}_{1}F_{1}(ba 1;2-a;z)&&quad (r=1-a)end{ausgerichtet} }}$

Externe Links

• (und) Die Methode von Frobenius auf MathWorld
• (und) W. T. Ang und YS Park, Gewöhnliche Differentialgleichungen: Methoden und Anwendungen (2008): A Course on Ordinary Differential Equations (Frobenius-Methode wird in Kapitel 5 behandelt), Kapitel 1 und 5 sind als PDF verfügbar