WikiDer > Теорема Микельса - Википедия
Теорема Микеля это результат геометрия, названный в честь Огюст Микель,[1] относительно пересечения трех окружностей, каждая из которых проведена через одну вершину треугольника и две точки на его смежных сторонах. Это один из нескольких результатов, касающихся кругов в Евклидова геометрия благодаря Микелю, чья работа была опубликована в Лиувилля недавно созданный журнал Journal de mathématiques pures et appliquées.
Формально пусть ABC - треугольник с произвольными точками A´, B´ и C´ по бокам до н.э, AC, и AB соответственно (или их расширения). Нарисуйте три окружности (Круги Микеля) в треугольники AB´C´, A´BC´, и A´B´C. Теорема Микеля утверждает, что эти круги пересекаются в одной точке M, называется Miquel Point. Кроме того, три угла MA´B, MB´C и MC´A (зеленый на схеме) все равны, как и три дополнительных угла MA´C, MB´A и MC´B.[2][3]
Теорема (и ее следствие) следуют из свойств циклические четырехугольники. Пусть описанные окружности A'B'C и AB'C 'пересекаются в потом следовательно, BA'MC 'является циклическим по желанию.
Теорема поворота
Если в формулировке теоремы Микеля точки A´, B´ и C´ образуют треугольник (то есть не коллинеарен), то теорема получила название Теорема поворота в Фордер (1960, п. 17).[4] (На схеме эти точки помечены п, Q и р.)
Если A´, B´ и C´ коллинеарны, то точка Микеля находится на описанный круг окружности ∆ABC, и наоборот, если точка Микеля находится на этой описанной окружности, то A´, B´ и C´ находятся на линии.[5]
Трехлинейные координаты точки Микеля
Если дробные расстояния A´, B´ и C´ по бокам до н.э (а), CA (б) и AB (c) находятся dа, dб и dcсоответственно, точка Микеля, в трилинейные координаты (Икс : у : z), дан кем-то:
куда d 'а = 1 - dа, и Т. Д.
В случае dа = dб = dc = ½ точка Микеля - это окружность (cos α: cos β: cos γ).
Обращение теоремы Микеля
Теорема может быть изменена, чтобы сказать: для трех кругов, пересекающихся в M, линию можно провести из любой точки А на одном круге, через его пересечение C´ с другим, чтобы дать B (на втором перекрестке). B тогда аналогично связан через пересечение в A´ второго и третьего кругов, давая точку C. Точки C, А и оставшаяся точка пересечения, B´, тогда будет коллинеарным, а треугольник ABC всегда будет проходить через пересечения кругов A´, B´ и C´.
Подобный вписанный треугольник
Если вписанный треугольник XYZ похож на контрольный треугольник ABC, то точка M совпадения трех кругов фиксируется для всех таких XYZ.[6]:п. 257
Теорема Микеля и Штейнера о четырехугольнике
Описанные окружности всех четырех треугольников полный четырехугольник встретиться в точке M.[7] На диаграмме выше это ∆ABF, ∆CDF, ∆ADE и ∆BCE.
Этот результат был объявлен двумя строчками Якоб Штайнер в выпуске 1827/1828 г. Жергонна Annales de Mathématiques,[8] но подробное доказательство было дано Микелем.[7]
Теорема Микеля о пятиугольнике
Пусть ABCDE - выпуклый пятиугольник. Вытяните все стороны, пока они не встретятся в пяти точках F, G, H, I, K, и начертите описанные окружности пяти треугольников CFD, DGE, EHA, AIB и BKC. Тогда вторые точки пересечения (кроме A, B, C, D, E), а именно новые точки M, N, P, R и Q, совпадают (лежат на окружности).[9] См. Диаграмму.
Обратный результат известен как Теорема пяти кругов.
Теорема Микеля о шести кругах
Учитывая баллы, А, B, C, и D на окружности и окружности, проходящие через каждую смежную пару точек, чередующиеся пересечения этих четырех окружностей в W, Икс, Y и Z затем лягте на общий круг. Это известно как теорема шести кругов.[10] Он также известен как теорема о четырех кругах и хотя обычно приписывается Якоб Штайнер единственное известное опубликованное доказательство было дано Микелем.[11] Уэллс называет это Теорема Микеля.[12]
Трехмерная версия теоремы Микеля
Существует также трехмерный аналог, в котором четыре сферы, проходящие через точку тетраэдра, и точки на ребрах тетраэдра пересекаются в общей точке.[3]
Смотрите также
Примечания
- ^ Учитель средней школы во французской деревне (Нантуа) по словам Остерманн и Ваннер 2012, п. 94
- ^ Микель, Огюст (1838), "Mémoire de Géométrie", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 1: 485–487, архивировано с оригинал на 2013-02-13
- ^ а б Уэллс 1991, п. 184 - Уэллс называет теорему Микеля теоремой поворота.
- ^ Кокстер и Грейцер 1967, п. 62
- ^ Смарт 1997, п. 177
- ^ Франсиско Хавьер Гарсия Капитан, «Локус центроидов подобных вписанных треугольников», Форум Geometricorum 16, 2016, 257–267.http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201631.pdf
- ^ а б Остерманн и Ваннер 2012, п. 96
- ^ Штайнер, Дж. (1827/1828), "Предлагаемые вопросы. Завершенная теория о квадрилатере", Annales de Mathématiques, 18: 302–304
- ^ Остерманн и Ваннер 2012, стр. 96–97
- ^ Педое 1988, п. 424
- ^ Остерманн и Ваннер 2012, п. 352
- ^ Уэллс 1991, стр. 151–2
Рекомендации
- Coxeter, H.S.M .; Грейцер, С. (1967), Возвращение к геометрии, Новая математическая библиотека, 19, Вашингтон, округ Колумбия.: Математическая ассоциация Америки, ISBN 978-0-88385-619-2, Zbl 0166.16402
- Фордер, Х.Г. (1960), Геометрия, Лондон: Хатчинсон
- Остерманн, Александр; Ваннер, Герхард (2012), Геометрия по ее истории, Спрингер, ISBN 978-3-642-29162-3
- Педо, Дэн (1988) [1970], Геометрия / Комплексный курс, Дувр, ISBN 0-486-65812-0
- Смарт, Джеймс Р. (1997), Современная геометрия (5-е изд.), Брукс / Коул, ISBN 0-534-35188-3
- Уэллс, Дэвид (1991), Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin, Нью-Йорк: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6, Zbl 0856.00005
внешняя ссылка
Викискладе есть медиафайлы по теме Теорема Микеля. |
- Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Микеля». MathWorld.
- Вайсштейн, Эрик В. "Теорема Микеля о пяти кругах". MathWorld.
- Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Микеля о пентаграмме». MathWorld.
- Вайсштейн, Эрик В. «Теорема вращения». MathWorld.
- Теорема Микельса как частный случай обобщения теоремы Наполеона в Эскизы динамической геометрии