WikiDer > Теорема монодромии

Monodromy theorem

Иллюстрация аналитического продолжения по кривой (только конечное число дисков

{displaystyle U_ {t}}

показаны).

Аналитическое продолжение по кривой натурального логарифма (показана только мнимая часть логарифма).

В комплексный анализ, то теорема монодромии важный результат о аналитическое продолжение из комплексно-аналитическая функция к большему набору. Идея состоит в том, что можно расширить комплексно-аналитическую функцию (далее называемую просто аналитическая функция) вдоль кривых, начинающихся в исходной области определения функции и заканчивающихся большим множеством. Потенциальная проблема этого аналитическое продолжение по кривой Стратегия состоит в том, что обычно есть много кривых, которые заканчиваются в одной и той же точке в большом наборе. Теорема монодромии дает достаточные условия для того, чтобы аналитическое продолжение давало одно и то же значение в данной точке независимо от кривой, используемой для достижения этой точки, так что результирующая расширенная аналитическая функция будет корректно определенной и однозначной.

Прежде чем сформулировать эту теорему, необходимо определить аналитическое продолжение вдоль кривой и изучить его свойства.

Аналитическое продолжение по кривой

Определение аналитического продолжения по кривой является немного техническим, но основная идея состоит в том, что один начинается с аналитической функции, определенной вокруг точки, и один расширяет эту функцию вдоль кривой с помощью аналитических функций, определенных на небольших перекрывающихся дисках, покрывающих эту кривую.

Формально рассмотрим кривую (a непрерывная функция) ${displaystyle gamma: [0,1] o mathbb {C}.}$ Позволять ${displaystyle f}$ аналитическая функция, определенная на открытый диск ${displaystyle U}$ сосредоточен на ${displaystyle gamma (0).}$ An аналитическое продолжение пары ${displaystyle (f, U)}$ вместе ${displaystyle gamma}$ это набор пар ${displaystyle (f_ {t}, U_ {t})}$ за ${displaystyle 0leq tleq 1}$ такой, что

${displaystyle f_ {0} = f}$ и ${displaystyle U_ {0} = U.}$

Для каждого ${displaystyle tin [0,1], U_ {t}}$ открытый диск с центром в ${displaystyle gamma (t)}$ и ${displaystyle f_ {t}: U_ {t} o mathbb {C}}$ является аналитической функцией.

Для каждого ${displaystyle tin [0,1]}$ Существует ${displaystyle varepsilon> 0}$ такое, что для всех ${displaystyle t'in [0,1]}$ с ${displaystyle | т-т '| <варепсилон}$ у одного есть это ${displaystyle gamma (t ') в U_ {t}}$ (откуда следует, что ${displaystyle U_ {t}}$ и ${displaystyle U_ {t '}}$ иметь непустой пересечение) и функции ${displaystyle f_ {t}}$ и ${displaystyle f_ {t '}}$ совпадают на пересечении ${displaystyle U_ {t} cap U_ {t '}.}$

Свойства аналитического продолжения по кривой

Аналитическое продолжение по кривой по существу уникально в том смысле, что даны два аналитических продолжения ${displaystyle (f_ {t}, U_ {t})}$ и ${displaystyle (g_ {t}, V_ {t})}$ ${displaystyle (0leq tleq 1)}$ из ${displaystyle (f, U)}$ вместе ${displaystyle gamma,}$ функции ${displaystyle f_ {1}}$ и ${displaystyle g_ {1}}$ совпадают на ${displaystyle U_ {1} cap V_ {1}.}$ Неформально это означает, что любые два аналитических продолжения ${displaystyle (f, U)}$ вместе ${displaystyle gamma}$ будут иметь те же значения в окрестности ${displaystyle gamma (1).}$

Если кривая ${displaystyle gamma}$ закрыто (то есть ${displaystyle gamma (0) = gamma (1)}$ ) не нужно иметь ${displaystyle f_ {0}}$ равный ${displaystyle f_ {1}}$ в районе ${displaystyle gamma (0).}$ Например, если начать с точки ${displaystyle (a, 0)}$ с ${displaystyle a> 0}$ и комплексный логарифм определен в окрестности этой точки, и можно ${displaystyle gamma}$ круг радиуса ${displaystyle a}$ с центром в исходной точке (перемещается против часовой стрелки из ${displaystyle (a, 0)}$ ), то, выполняя аналитическое продолжение по этой кривой, мы получим значение логарифма на ${displaystyle (a, 0)}$ который ${displaystyle 2pi i}$ плюс исходное значение (см. вторую иллюстрацию справа).

Теорема монодромии

Гомотопия с фиксированными концами необходимо для выполнения теоремы монодромии.

Как отмечалось ранее, два аналитических продолжения вдоль одной и той же кривой дают один и тот же результат в конечной точке кривой. Однако, учитывая, что две разные кривые, отходящие от одной и той же точки, вокруг которой определена аналитическая функция, с кривыми, пересекающимися в конце, в целом неверно, что аналитические продолжения этой функции вдоль двух кривых дадут одно и то же значение. в их общей конечной точке.

Действительно, можно рассматривать, как и в предыдущем разделе, комплексный логарифм, определенный в окрестности точки ${displaystyle (a, 0)}$ и круг с центром в начале координат и радиус ${displaystyle a.}$ Тогда можно путешествовать из ${displaystyle (a, 0)}$ к ${displaystyle (-a, 0)}$ двумя способами: против часовой стрелки по дуге верхней полуплоскости этой окружности и по часовой стрелке по дуге нижней полуплоскости. Значения логарифма при ${displaystyle (-a, 0)}$ полученные аналитическим продолжением по этим двум дугам, будут отличаться на ${displaystyle 2pi i.}$

Если, однако, можно непрерывно деформировать одну из кривых в другую, сохраняя при этом начальные и конечные точки фиксированными, а аналитическое продолжение возможно на каждой из промежуточных кривых, то аналитическое продолжение вдоль двух кривых даст одинаковые результаты при их общая конечная точка. Это называется теорема монодромии и его заявление уточняется ниже.

Позволять

{displaystyle U}

- открытый диск на комплексной плоскости с центром в точке

{displaystyle P}

и

{displaystyle f: U o mathbb {C}}

- комплексно-аналитическая функция. Позволять

{displaystyle Q}

быть другой точкой комплексной плоскости. Если существует семейство кривых

{displaystyle gamma _ {s}: [0,1] o mathbb {C}}

с

{displaystyle sin [0,1]}

такой, что

{displaystyle gamma _ {s} (0) = P}

и

{displaystyle gamma _ {s} (1) = Q}

для всех

{displaystyle sin [0,1],}

функция

{displaystyle (s, t) в [0,1] imes [0,1] o gamma _ {s} (t) в mathbb {C}}

непрерывна, и для каждого

{displaystyle sin [0,1]}

можно сделать аналитическое продолжение

{displaystyle f}

вместе

{displaystyle gamma _ {s},}

то аналитические продолжения

{displaystyle f}

вместе

{displaystyle gamma _ {0}}

и

{displaystyle gamma _ {1}}

даст те же значения при

{displaystyle Q.}

Теорема монодромии позволяет расширить аналитическую функцию на большее множество с помощью кривых, соединяющих точку в исходной области определения функции с точками в большем наборе. Приведенная ниже теорема также называется теоремой монодромии.

Позволять

{displaystyle U}

- открытый диск на комплексной плоскости с центром в точке

{displaystyle P}

и

{displaystyle f: U o mathbb {C}}

- комплексно-аналитическая функция. Если

{displaystyle W}

это открытый односвязный набор содержащий

{displaystyle U,}

и можно выполнить аналитическое продолжение

{displaystyle f}

на любой кривой, содержащейся в

{displaystyle W}

который начинается в

{displaystyle P,}

тогда

{displaystyle f}

признает прямое аналитическое продолжение к

{displaystyle W,}

означает, что существует комплексно-аналитическая функция

{displaystyle g: W o mathbb {C}}

чье ограничение на

{displaystyle U}

является

{displaystyle f.}

Смотрите также

использованная литература

Кранц, Стивен Г. (1999). Справочник сложных переменных. Birkhäuser. ISBN 0-8176-4011-8.
Джонс, Гарет А .; Зингерман, Дэвид (1987). Сложные функции: алгебраическая и геометрическая точки зрения. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-31366-X.

Трибель, Ганс (1986). Анализ и математическая физика, англ. Ред.. D. Reidel Pub. Co. ISBN 90-277-2077-0.

Navigation