WikiDer > Теорема Морераса - Википедия

Moreras theorem - Wikipedia
Если интеграл по каждому C равно нулю, то ж является голоморфный на D.

В комплексный анализ, филиал математика, Теорема Мореры, названный в честь Джачинто Морера, дает важный критерий для доказательства того, что функция является голоморфный.

Теорема Мореры утверждает, что непрерывный, сложный-значная функция ж определено на открытый набор D в комплексная плоскость это удовлетворяет

для каждого замкнутого кусочно C1 изгиб в D должен быть голоморфным на D.

Предположение теоремы Мореры эквивалентно ж имея первообразный наD.

Обратное утверждение теоремы в общем случае неверно. Голоморфная функция не обязательно должна иметь первообразную в своей области определения, если не налагаются дополнительные предположения. Обратное верно, например, если домен односвязный; это Интегральная теорема Коши, заявив, что линейный интеграл голоморфной функции вдоль замкнутая кривая равно нулю.

Стандартный контрпример - функция ж(z) = 1/z, голоморфный на ℂ - {0}. В любой односвязной окрестности U в ℂ - {0}, 1 /z имеет первообразную, определяемую L(z) = ln (р) + , куда z = повторно. Из-за двусмысленности θ с точностью до любого целого числа, кратного 2π, любой непрерывный выбор θ на U будет достаточно, чтобы определить первообразную 1 /z на U. (Дело в том, что θ не может быть определен непрерывно на простой замкнутой кривой, содержащей начало координат внутри себя, что является корнем того, почему 1 /z не имеет первообразной на всей своей области ℂ - {0}.) И поскольку производная аддитивной константы равна 0, любая константа может быть добавлена ​​к первообразной, и она по-прежнему является первообразной 1 /z.

В определенном смысле 1 /z Контрпример универсален: для каждой аналитической функции, не имеющей первообразной в области определения, причина этого в том, что 1 /z сам по себе не имеет первообразной на ℂ - {0}.

Доказательство

Интегралы по двум путям из а к б равны, так как их разность является интегралом по замкнутому контуру.

Имеется относительно элементарное доказательство теоремы. Конструируют антипроизводную для ж явно.

Без ограничения общности можно предположить, что D является связаны. Зафиксируйте точку z0 в D, и для любого , позволять быть кусочно C1 кривая такая, что и . Затем определите функцию F быть

Чтобы убедиться, что функция определена правильно, предположим еще один кусочно C1 кривая такая, что и . Кривая (т.е. кривая, объединяющая с наоборот) является замкнутым кусочно C1 кривая в D. Потом,

Отсюда следует, что

Затем, используя непрерывность ж чтобы оценить разностные коэффициенты, получаем, что F′(z) = ж(z). Если бы мы выбрали другой z0 в D, F изменится на константу: а именно результат интегрирования ж вдоль любой кусочно-правильная кривая между новыми z0 и старый, и это не меняет производную.

С ж - производная голоморфной функции F, он голоморфен. Тот факт, что производные голоморфных функций голоморфны, можно доказать, используя тот факт, что голоморфные функции аналитичны, то есть может быть представлен сходящимся степенным рядом, а также тем фактом, что степенной ряд может быть дифференцирован по члену. Это завершает доказательство.

Приложения

Теорема Мореры - стандартный инструмент в комплексный анализ. Он используется почти в любом рассуждении, которое включает неалгебраическое построение голоморфной функции.

Единые пределы

Например, предположим, что ж1ж2, ... - последовательность голоморфных функций, сходятся равномерно к непрерывной функции ж на открытом диске. К Теорема Коши, мы знаем это

для каждого п, вдоль любой замкнутой кривой C в диске. Тогда из равномерной сходимости следует, что

для каждой замкнутой кривой C, а значит, по теореме Мореры ж должен быть голоморфным. Этот факт можно использовать, чтобы показать, что для любого открытый набор Ω ⊆C, набор А(Ω) всех ограниченный, аналитические функции ты : Ω →C это Банахово пространство с уважением к верхняя норма.

Бесконечные суммы и интегралы

Теорема Мореры также может использоваться вместе с Теорема Фубини и М-тест Вейерштрасса чтобы показать аналитичность функций, определяемых суммами или интегралами, например Дзета-функция Римана

или Гамма-функция

В частности, показано, что

для подходящей замкнутой кривой C, написав

а затем используя теорему Фубини для обоснования изменения порядка интегрирования, получая

Тогда используется аналитичность α ↦ Иксα−1 сделать вывод, что

и, следовательно, указанный выше двойной интеграл равен 0. Аналогично, в случае дзета-функции M-тест оправдывает замену интеграла по замкнутой кривой и суммы местами.

Ослабление гипотез

Гипотезы теоремы Мореры могут быть значительно ослаблены. В частности, достаточно для интеграла

быть нулем для каждого замкнутого (сплошного) треугольника Т содержится в регионе D. Это на самом деле характеризует голоморфия, т.е. ж голоморфен на D тогда и только тогда, когда выполняются указанные выше условия. Отсюда также вытекает следующее обобщение отмеченного выше факта о равномерных пределах голоморфных функций: если ж1ж2, ... - последовательность голоморфных функций, определенных на открытом множестве Ω ⊆C который сходится к функции ж равномерно на компактных подмножествах Ω, то ж голоморфно.

Смотрите также

Рекомендации

  • Альфорс, Ларс (1 января 1979 г.), Комплексный анализ, Международная серия по чистой и прикладной математике, McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-000657-7, Zbl 0395.30001.
  • Конвей, Джон Б. (1973), Функции одной комплексной переменной I, Тексты для выпускников по математике, 11, Springer Verlag, ISBN 978-3-540-90328-4, Zbl 0277.30001.
  • Грин, Роберт Э.; Кранц, Стивен Г. (2006), Теория функций одной комплексной переменной, Аспирантура по математике, 40, Американское математическое общество, ISBN 0-8218-3962-4
  • Морера, Джачинто (1886), "Un teorema fondamentale nella teorica delle funzioni di una variabile complessa", Rendiconti del Reale Instituto Lombardo di Scienze e Lettere (на итальянском), 19 (2): 304–307, JFM 18.0338.02.
  • Рудин, Вальтер (1987) [1966], Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Макгроу-Хилл, стр. xiv + 416, ISBN 978-0-07-054234-1, Zbl 0925.00005.

внешняя ссылка