WikiDer > Мультипликативный порядок

Multiplicative order

В теория чисел, учитывая целое число а и положительное целое число п совмещать к а, то мультипликативный порядок из а по модулю п это наименьшее положительное целое число k с

Другими словами, мультипликативный порядок а по модулю п это порядок из а в мультипликативная группа из единицы в звенеть целых чисел по модулю п.

Получатель чего-то а по модулю п обычно пишется как или же

Пример

Степени 4 по модулю 7 следующие:

Наименьшее положительное целое число k так что 4k = 1 (mod 7) равно 3, поэтому О7(4) = 3.

Характеристики

Даже не зная, что мы работаем в мультипликативная группа целых чисел по модулю n, мы можем показать, что а на самом деле имеет приказ, отмечая, что полномочия а может принимать только конечное число различных значений по модулю п, так что согласно принцип голубятни должно быть две силы, скажем s и т и не теряя общий смысл s > т, так что аs ≡ ат (модп). С а и п находятся совмещать, это означает, что а имеет обратный элемент а−1 и мы можем умножить обе части сравнения на ат, уступая аsт ≡ 1 (модп).

Концепция мультипликативного порядка - это частный случай порядок элементов группы. Мультипликативный порядок числа а по модулю п это порядок а в мультипликативная группа элементы которого являются вычетами по модулю п чисел, взаимно простых с п, а групповая операция - умножение по модулюп. Это группа единиц из звенеть Zп; она имеет φ(п) элементов, φ Функция Эйлера, и обозначается как U(п) или жеU(Zп).

Как следствие Теорема Лагранжа, ordп(а) всегда разделяет φ(п). Если ordп(а) фактически равно φ(п), а значит, как можно больше, то а называется первобытный корень по модулю п. Это означает, что группа U(п) является циклический и класс остатков а генерирует Это.

Порядок ordп а также делит λ (п), значение Функция Кармайкла, что является даже более сильным утверждением, чем делимостьφ(п).

Языки программирования

Смотрите также

Рекомендации

  • Вайсштейн, Эрик В. «Мультипликативный порядок». MathWorld.