WikiDer > Мультипликативно замкнутое множество

Multiplicatively closed set

В абстрактная алгебра, а мультипликативно замкнутое множество (или же мультипликативный набор) это подмножество S из кольцо р такое, что выполняются следующие два условия:[1][2]

  • ,
  • для всех .

Другими словами, S является закрыто принимая конечные продукты, в том числе пустой продукт 1.[3]Эквивалентно мультипликативный набор - это субмоноид мультипликативного моноид кольца.

Мультипликативные наборы особенно важны в коммутативная алгебра, где они используются для строительства локализации коммутативных колец.

Подмножество S кольца р называется насыщенный если он закрыт под прием делители: т.е. всякий раз, когда продукт ху в S, элементы Икс и у находятся в S тоже.

Примеры

Общие примеры мультипликативных наборов включают:

Характеристики

  • Идеальный п коммутативного кольца р является простым тогда и только тогда, когда его дополнение рп мультипликативно замкнуто.
  • Подмножество S является одновременно насыщенным и мультипликативно замкнутым тогда и только тогда, когда S является дополнением к союз главных идеалов.[4] В частности, дополнение к простому идеалу одновременно насыщено и мультипликативно замкнуто.
  • Пересечение семейства мультипликативных множеств является мультипликативным множеством.
  • Пересечение семейства насыщенных множеств насыщено.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Атья и Макдональд, стр. 36.
  2. ^ Ланг, стр. 107.
  3. ^ Эйзенбуд, стр. 59.
  4. ^ Капланского, с. 2, теорема 2.

Рекомендации

  • М. Ф. Атья и И. Г. Макдональд, Введение в коммутативную алгебру, Эддисон-Уэсли, 1969.
  • Дэвид Эйзенбуд, Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии, Спрингер, 1995.
  • Каплански, Ирвинг (1974), Коммутативные кольца (Пересмотренное изд.), Издательство Чикагского университета, Г-Н 0345945
  • Серж Ланг, Алгебра 3-е изд., Springer, 2002.