WikiDer > Рядом с полигоном

Near polygon
Плотный ближний многоугольник диаметром d = 2

В математика, а около полигона является геометрия падения введен Эрнестом Э. Шультом и Артуром Янушкой в ​​1980 году.[1] Шулт и Янушка показали связь между так называемыми тетраэдрически замкнутыми системами линий в евклидовых пространствах и классом точечная геометрия которые они назвали рядом с полигонами. Эти структуры обобщают понятие обобщенный многоугольник как каждые 2 обобщенныхп-гон - это около 2п-гон определенного вида. Близкие полигоны были тщательно изучены, и связь между ними и дуальными полярные пространства [2] был показан в 1980-х - начале 1990-х годов. Немного спорадические простые группы, например Холл-Янко группа и Матье группы, действуют как группы автоморфизмов почти многоугольников.

Определение

Рядом 2d-gon - это структура заболеваемости (), куда это множество точек, это набор линий и это отношение инцидентности, такое, что:

  • Максимальное расстояние между двумя точками (так называемый диаметр) составляет d.
  • За каждую точку и каждая строчка существует единственная точка на который ближе всего к .

Обратите внимание, что расстояние измеряется по коллинеарности график точек, т. е. граф, образованный взятием точек за вершины и соединением пары вершин, если они инцидентны общей прямой. Мы также можем дать альтернативный теоретический график определение, около 2d-угольник - связный граф конечного диаметра d со свойством, что для каждой вершины Икс и каждая максимальная клика M существует единственная вершина Икс' в M ближайший к Икс. Максимальные клики такого графа соответствуют линиям в определении структуры инцидентности. Около 0-угольника (d = 0) представляет собой единственную точку, а близкий к 2-угольнику (d = 1) - это всего лишь одна строка, т.е. полный график. Ближний четырехугольник (d = 2) совпадает с a (возможно, вырожденным) обобщенный четырехугольник. Фактически, можно показать, что каждый обобщенный 2d-угольник это около 2d-gon, который удовлетворяет следующим двум дополнительным условиям:

  • Каждая точка инцидентна как минимум двум линиям.
  • За каждые два балла Иксу на расстоянии я < d, существует единственный сосед у на расстоянии я - 1 изИкс.

Близкий многоугольник называется плотным, если каждая линия инцидентна как минимум трем точкам и если каждые две точки на расстоянии два имеют как минимум двух общих соседей. Говорят, что есть порядок (sт), если каждая линия инцидентна ровно s +1 балл, и каждая точка инцидентна ровно т + 1 линия. Плотные около полигоны имеют обширную теорию, и несколько их классов (например, тонкие плотные около многоугольники) были полностью классифицированы.[3]

Примеры

  • Все подключено двудольные графы находятся рядом с полигонами. Фактически, любой почти многоугольник, у которого ровно две точки на линии, должен быть связным двудольным графом.
  • Все конечное обобщенные многоугольники кроме проективных плоскостей.
  • Все двойные полярные пространства.
  • Холл-Янко около восьмиугольника, также известный как Коэн-Сиськи около восьмиугольника[4] связанный с Холл – Янко группа. Его можно построить, выбрав класс сопряженности 315 центральных инволюций группы Холла-Янко как точки и прямые как трехэлементные подмножества {x, y, xy} всякий раз, когда x и y коммутируют.
  • Их24 около шестиугольника, относящегося к Матье группа М24 и расширенный двоичный код Голея. Он построен на основе 759 октад (блоков) конструкции Витта. S(5, 8, 24), соответствующие коду Голея в виде точек и тройка из трех попарно непересекающихся октад в виде линий.[5]
  • Возьми перегородки из {1, 2, ..., 2п + 2} в п + 1 2-подмножества как точки и разбиения на п - 1 2-подмножество и одно 4-подмножество в виде строк. Точка инцидентна линии, если как разбиение является ее уточнением. Это дает нам около 2п-угольник с тремя точками на каждой линии, обычно обозначаемый ЧАСп. Его полная группа автоморфизмов - это симметричная группа S2п+2.[6][7]

Правильные возле полигонов

Конечная близкая -угольник S называется обычным, если в нем есть порядок и если существуют константы , такое, что для каждых двух точек и на расстоянии , есть именно линии через содержащий (обязательно уникальную) точку на расстоянии из . Оказывается, что обычный рядом -угольники именно те, что рядом -угольники, точечный граф которых (также известный как график коллинеарности) это дистанционно регулярный граф. Обобщенный -угольник порядка является постоянным рядом -угольник с параметрами

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Шульт, Эрнест; Янушка, Артур. «Около n-угольников и линейные системы».
  2. ^ Кэмерон, Питер Дж. «Двойные полярные пространства».
  3. ^ Де Брюн, Барт. Рядом с полигонами
  4. ^ http://www.win.tue.nl/~aeb/graphs/HJ315.html
  5. ^ https://www.win.tue.nl/~aeb/2WF02/Witt.pdf
  6. ^ Brouwer, A.E .; Уилбринк, Х.А., Две бесконечные последовательности близких к многоугольнику (PDF)
  7. ^ Де Брюн, Барт, Изометрические вложения между ближайшим многоугольником ЧАСп и граммп (PDF)

Рекомендации

  • De Clerck, F .; Ван Малдегем, Х. (1995), "Некоторые классы геометрий ранга 2", Справочник по геометрии падения, Амстердам: Северная Голландия, стр. 433–475..
  • Шульт, Эрнест Э. (2011), Точки и линии, Universitext, Springer, Дои:10.1007/978-3-642-15627-4, ISBN 978-3-642-15626-7.