WikiDer > Нормальная семья

В математика, со специальным приложением к комплексный анализ, а нормальная семья это предварительное уплотнение подмножество пространства непрерывные функции. Неформально это означает, что функции в семье не так широко распространены, а скорее держатся несколько «сгруппированно». Иногда, если каждая функция в нормальной семье F удовлетворяет определенному свойству (например, является голоморфный), то свойство выполняется и для каждого предельная точка из набора F.

Более формально, пусть Икс и Y быть топологические пространства. Набор непрерывных функций ${ displaystyle f: от X до Y}$ имеет естественный топология называется компактно-открытая топология. А нормальная семья это предварительное уплотнение подмножество по отношению к этой топологии.

Если Y это метрическое пространство, то компактно-открытая топология эквивалентна топологии компактная сходимость,^[1] и мы получаем определение, более близкое к классическому: набор F непрерывных функций называется нормальная семья если каждый последовательность функций в F содержит подпоследовательность который сходится равномерно на компактных подмножествах из Икс к непрерывной функции из Икс к Y. То есть для каждой последовательности функций в F, существует подпоследовательность ${ displaystyle f_ {n} (x)}$ и непрерывная функция ${ displaystyle f (x)}$ из Икс к Y такое, что для каждого компактный подмножество K содержалась в Икс:

${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} sup _ {x in K} d_ {Y} (f_ {n} (x), f (x)) = 0}$

куда ${ displaystyle d_ {Y}}$ это метрика из Y.

Нормальные семейства голоморфных функций

Концепция возникла в комплексный анализ, это исследование голоморфные функции. В этом случае, Икс является открытое подмножество из комплексная плоскость, Y - комплексная плоскость, а метрика на Y дан кем-то ${ displaystyle d_ {Y} (y_ {1}, y_ {2}) = | y_ {1} -y_ {2} |}$. Как следствие Интегральная теорема Коши, последовательность голоморфных функций, равномерно сходящаяся на компактах, должна сходиться к голоморфной функции. То есть каждый предельная точка нормального семейства голоморфна.

Нормальные семейства голоморфных функций - самый быстрый способ доказательства Теорема римана отображения.^[2]

В более общем смысле, если пробелы Икс и Y находятся Римановы поверхности, и Y оснащен метрикой, идущей от теорема униформизации, то каждая предельная точка нормального семейства голоморфных функций ${ displaystyle f: от X до Y}$ также голоморфен.

Например, если Y это Сфера Римана, то метрикой униформизации является сферическое расстояние. В этом случае голоморфная функция из Икс к Y называется мероморфная функция, поэтому каждая предельная точка нормального семейства мероморфных функций является мероморфной функцией.

Критерии

В классическом контексте голоморфных функций существует несколько критериев, которые можно использовать для установления того, что набор является нормальным семейством:Теорема Монтеля утверждает, что множество локально ограниченных голоморфных функций нормально. В Монтель-Каратеодори Теорема утверждает, что набор мероморфных функций, которые пропускают значения нуль и один, является нормальным.

Теорема Марти^[3]предоставляет критерий, который эквивалентен определению в контексте мероморфных функций: множество F мероморфных функций из домен ${ Displaystyle U подмножество mathbb {C}}$ к комплексной плоскости является нормальным семейством тогда и только тогда, когда для каждого компактного подмножества K из U существует постоянная C так что для каждого ${ displaystyle f in F}$ и каждый z в K у нас есть

${ displaystyle { frac {2f '(z)} {1+ | f (z) | ^ {2}}} leq C.}$

Действительно, выражение слева - это формула для отступление из длина дуги элемент на Сфера Римана в комплексную плоскость через обратную стереографическая проекция.

История

Поль Монтель впервые ввел термин «нормальная семья» в 1911 году.^[4][5]Поскольку концепция нормальной семьи всегда была очень важна для комплексного анализа, терминология Монтеля до сих пор используется, хотя с современной точки зрения фраза предварительно компактное подмножество может быть предпочтительнее некоторых математиков. Обратите внимание, что хотя понятие компактной открытой топологии обобщает и разъясняет концепцию, во многих приложениях исходное определение более практично.

Смотрите также

• Фундаментальный тест на нормальность

Примечания

Рекомендации

• Альфорс, Ларс В. (1953), Комплексный анализ. Введение в теорию аналитических функций одного комплексного переменного, Макгроу-Хилл
• Альфорс, Ларс В. (1966), Комплексный анализ. Введение в теорию аналитических функций одного комплексного переменного, Международная серия по чистой и прикладной математике (2-е изд.), McGraw-Hill
• Альфорс, Ларс В. (1978), Комплексный анализ. Введение в теорию аналитических функций одного комплексного переменного, Международная серия по чистой и прикладной математике (3-е изд.), McGraw-Hill, ISBN 0070006571
• Бирдон, Алан Ф. (1979), Комплексный анализ: принцип аргументации в анализе и топологии, Джон Уайли и сыновья, ISBN 0471996718
• Чжуан, Чи Тай (1993), Нормальные семейства мероморфных функций, World Scientific, ISBN 9810212577
• Конвей, Джон Б. (1978). Функции одной комплексной переменной I. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90328-3.
• Гамелен, Теодор В. (2001). Комплексный анализ. Springer-Verlag. ISBN 0-387-95093-1.
• Марти, Фредерик : Исследования по перегруппировке valeurs d’une function méromorphe. Анна. Фак. Sci. Univ. Тулуза, 1931, 28, № 3, с. 183–261.
• Монтель, Поль (1927), Leçons sur les familles normales de fonctions analytiques et leur applications (на французском), Готье-Виллар
• Мункрес, Джеймс Р. (2000). Топология. Прентис Холл. ISBN 0-13-181629-2.
• Шифф, Дж. Л. (1993). Нормальные семьи. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97967-0.

Эта статья включает в себя материалы из нормальной семьи по PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.