WikiDer > Нормальный порядок

Normal order

В квантовая теория поля продукт квантовых полей или, что то же самое, их операторы создания и уничтожения, обычно называют нормально заказанный (также называемый Порядок фитиля), когда все операторы создания находятся слева от всех операторов уничтожения в произведении. Процесс приведения товара в нормальный порядок называется нормальный заказ (также называемый Заказ фитиля). Условия антинормальный порядок и антинормальный порядок определяются аналогично, где операторы уничтожения помещаются слева от операторов создания.

Нормальное упорядочение квантовых полей продукта или операторы создания и уничтожения также можно определить во многих другие способы. Какое определение является наиболее подходящим, зависит от ожидаемых значений, необходимых для данного расчета. В большей части этой статьи используется наиболее распространенное определение нормального порядка, приведенное выше, которое подходит для ожидаемые значения используя вакуумное состояние операторы создания и уничтожения.

Процесс обычного заказа особенно важен для квантово-механический Гамильтониан. При квантовании классический Гамильтониан имеет некоторую свободу при выборе порядка операторов, и этот выбор приводит к различиям в энергия основного состояния.

Обозначение

Если обозначает произвольный продукт операторов создания и / или уничтожения (или, что эквивалентно, квантовых полей), тогда нормальная упорядоченная форма обозначается .

Альтернативное обозначение .

Обратите внимание, что нормальный порядок - это концепция, которая имеет смысл только для продуктов операторов. Попытка применить нормальный порядок к сумме операторов бесполезна, поскольку нормальное упорядочение не является линейной операцией.

Бозоны

Бозоны частицы, удовлетворяющие Статистика Бозе – Эйнштейна. Теперь мы рассмотрим нормальный порядок продуктов операторов бозонного рождения и аннигиляции.

Одиночные бозоны

Если мы начнем с бозона одного типа, то нас интересуют два оператора:

  • : оператор создания бозона.
  • : оператор аннигиляции бозона.

Они удовлетворяют коммутатор отношение

куда обозначает коммутатор. Мы можем переписать последний как:

Примеры

1. Сначала рассмотрим простейший случай. Это нормальный порядок :

Выражение не было изменено, потому что это уже в обычном порядке - оператор создания уже находится слева от оператора уничтожения .

2. Более интересным примером является нормальный порядок следования :

Здесь обычная операция заказа переупорядочен условия путем размещения слева от .

Эти два результата могут быть объединены с коммутационным соотношением, которому подчиняется и получить

или же

Это уравнение используется для определения сокращений, используемых в Теорема Вика.

3. Пример с несколькими операторами:

4. Простой пример показывает, что нормальный порядок не может быть расширен за счет линейности с мономов на все операторы самосогласованным образом:

Подразумевается, что нормальный порядок не является линейной функцией операторов.

Множественные бозоны

Если мы теперь рассмотрим разные бозоны есть операторы:

  • : the оператор создания бозона.
  • : the оператор аннигиляции бозона.

Здесь .

Они удовлетворяют коммутационным соотношениям:

куда и обозначает Дельта Кронекера.

Их можно переписать как:

Примеры

1. Для двух разных бозонов () у нас есть

2. Для трех разных бозонов () у нас есть

Обратите внимание, что, поскольку (коммутационными соотношениями) порядок, в котором мы пишем операторы уничтожения, не имеет значения.

Фермионы

Фермионы частицы, удовлетворяющие Статистика Ферми – Дирака. Теперь мы рассмотрим нормальный порядок продуктов операторов фермионного рождения и аннигиляции.

Одиночные фермионы

Для одиночного фермиона интересны два оператора:

  • : оператор создания фермиона.
  • : оператор аннигиляции фермиона.

Они удовлетворяют антикоммутатор отношения

куда обозначает антикоммутатор. Их можно переписать как

Чтобы определить нормальный порядок произведения операторов фермионного рождения и уничтожения, мы должны учитывать количество развязки между соседними операторами. При каждой такой замене мы получаем знак минус.

Примеры

1. Снова начнем с самых простых случаев:

Это выражение уже находится в обычном порядке, поэтому ничего не изменилось. В обратном случае мы вводим знак минус, потому что нам нужно изменить порядок двух операторов:

Их можно комбинировать вместе с антикоммутационными соотношениями, чтобы показать

или же

Это уравнение, которое имеет ту же форму, что и бозонный случай выше, используется для определения сокращений, используемых в Теорема Вика.

2. Нормальный порядок любых более сложных случаев дает ноль, потому что по крайней мере один оператор создания или уничтожения встречается дважды. Например:

Множественные фермионы

За разные фермионы есть операторы:

  • : the оператор создания фермиона.
  • : the оператор аннигиляции фермиона.

Здесь .

Они удовлетворяют коммутационным соотношениям:

куда и обозначает Дельта Кронекера.

Их можно переписать как:

При вычислении нормального порядка произведений фермионных операторов необходимо учитывать количество развязки соседних операторов, необходимых для перестановки выражения. Это как если бы мы притворялись, что операторы создания и уничтожения антикоммутируют, а затем переупорядочиваем выражение, чтобы гарантировать, что операторы создания находятся слева, а операторы уничтожения - справа - все время с учетом антикоммутационных соотношений.

Примеры

1. Для двух разных фермионов () у нас есть

Здесь выражение уже нормально упорядочено, поэтому ничего не меняется.

Здесь мы вводим знак минус, потому что мы поменяли порядок двух операторов местами.

Отметим, что порядок, в котором мы пишем здесь операторы, в отличие от бозонного случая, имеет значение.

2. Для трех разных фермионов () у нас есть

Обратите внимание, что поскольку (антикоммутационными соотношениями) порядок, в котором мы пишем операторы имеет значение в этом случае.

Аналогично у нас есть

Использование в квантовой теории поля

В ожидаемое значение вакуума нормального упорядоченного произведения операторов рождения и уничтожения равна нулю. Это потому, что, обозначая состояние вакуума к , операторы рождения и уничтожения удовлетворяют

(здесь и являются операторами рождения и уничтожения (бозонными или фермионными).

Позволять обозначают непустое произведение операторов создания и уничтожения. Хотя это может удовлетворить

у нас есть

Нормальные упорядоченные операторы особенно полезны при определении квантово-механических Гамильтониан. Если гамильтониан теории находится в нормальном порядке, то энергия основного состояния будет равна нулю:.

Бесплатные поля

С двумя свободными полями ф и х

куда снова состояние вакуума. Каждый из двух членов в правой части обычно увеличивается до предела, когда y приближается к x, но разница между ними имеет четко определенный предел. Это позволяет нам определить: φ (x) χ (x) :.

Теорема Вика

Теорема Вика заявляет о существовании связи между заказанным по времени продуктом поля и сумма обычных заказанных товаров. Это может быть выражено для даже как

где суммирование ведется по всем различным способам объединения полей в пары. Результат для odd выглядит так же, за исключением последней строки, которая гласит

Эта теорема обеспечивает простой метод вычисления вакуумных математических ожиданий для упорядоченных по времени произведений операторов и послужила мотивацией для введения нормального порядка.

Альтернативные определения

Наиболее общее определение нормального порядка включает разделение всех квантовых полей на две части (например, см. Evans and Steer 1996).. В продукте полей поля делятся на две части и части перемещаются так, чтобы они всегда находились слева от всех части. В обычном случае, рассматриваемом в остальной части статьи, содержит только операторы создания, а содержит только операторы уничтожения. Так как это математическое тождество, можно разбивать поля как угодно. Однако, чтобы эта процедура была полезной, нужно, чтобы обычный заказанный продукт любой комбинация полей имеет нулевое математическое ожидание

Для практических расчетов также важно, чтобы все коммутаторы (антикоммутаторы для фермионных полей) всех и все c-числа. Эти два свойства означают, что мы можем применять Теорема Вика обычным способом, превращая ожидаемые значения упорядоченных по времени произведений полей в произведения пар c-чисел, сокращений. В этом обобщенном параметре сокращение определяется как разница между заказанным по времени продуктом и обычным заказанным продуктом для пары полей.

Самый простой пример находится в контексте Теория теплового квантового поля (Эванс и Стир 1996). В этом случае интересующие ожидаемые значения представляют собой статистические ансамбли, трассы по всем состояниям, взвешенные по . Например, для одного бозонного квантового гармонического осциллятора мы имеем, что значение теплового ожидания числового оператора просто равно Распределение Бозе – Эйнштейна

Итак, здесь числовой оператор нормально упорядочено в обычном смысле, используемом в остальной части статьи, но его значения теплового ожидания не равны нулю. Применение теоремы Вика и выполнение расчетов с обычным нормальным порядком в этом термическом контексте возможно, но с вычислительной точки зрения непрактично. Решение состоит в том, чтобы определить другой порядок, чтобы и находятся линейные комбинации оригинальных операторов уничтожения и созидания. Комбинации выбираются для обеспечения того, чтобы ожидаемые значения температуры для обычных заказанных продуктов всегда равнялись нулю, поэтому выбранное разделение будет зависеть от температуры.

Рекомендации