WikiDer > Wahrscheinlichkeit

Das Wahrscheinlichkeit ist das Verhältnis zwischen zwei Wettquoten oder Chancen. Die Wettquote ist das Verhältnis zwischen den Wahrscheinlichkeit dass ein Ereignis eintritt (eintreten wird) und die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht eintritt (eintreten wird). Wenn zum Beispiel bei einem positiven Testergebnis eine Krankheit B 1000-mal nachgewiesen worden wäre und Krankheit B 100-mal fehlte, dann wäre die Wettquote 10 zu 1. Wenn Krankheit B auch 100-mal mit negativem Testergebnis diagnostiziert worden wäre und 1000 nicht, wäre das Odds Ratio 1 zu 10. Das Odds Ratio ist jetzt das Verhältnis zwischen diesen beiden Wettquoten; in diesem Fall 100.

Die Beziehung zwischen dichotom Variablen (z. B. positives oder negatives Testergebnis in Bezug auf Krankheit B oder Nicht-Krankheit) wird oft in ihrer gröbsten Form in einer Vier-Felder-Tabelle dargestellt.

	Krankheit B vorhanden	Krankheit B abwesend
positiv	ein	b
Negativ	c	d

Das Frequenz a wird als TP (True Positives) bezeichnet, die Frequenz b als FP (Fehlalarm), die Frequenz c als FN (Falsche Negative) und die Frequenz d als TN (True Negatives).

Das Verhältnis a/b von a und b ist das Wettverhältnis zwischen der Wahrscheinlichkeit, dass die Krankheit B bei einem positiven (Test-)Ergebnis vorliegt, und der Wahrscheinlichkeit, dass diese Krankheit bei einem positiven (Test-)Ergebnis nicht vorliegt. Das Verhältnis c/d von c und d ist das Wettverhältnis zwischen der Wahrscheinlichkeit, dass Krankheit B bei einem negativen (Test) Ergebnis vorliegt, und der Wahrscheinlichkeit, dass Krankheit B bei einem negativen (Test) Ergebnis nicht vorhanden ist. Das Verhältnis zwischen diesen beiden Wettquoten (Odds) ist das Odds Ratio (OR):

${displaystyle OR={frac {(a/b)}{(c/d)}}}$

In der medizinischen Statistik wird häufig die Odds Ratio verwendet, eine gängige Interpretation ist beispielsweise, dass bei einem OR = x eine Erkrankung bei einem positiven (Test-)Ergebnis B x mal wahrscheinlicher ist als bei einem negativen (Test-)Ergebnis, wobei „Test“ ist sehr weit zu verstehen, beispielsweise das Vorhandensein oder Fehlen eines Umweltfaktors, Ja oder Nein bei der Beantwortung einer Frage, eine Punktzahl von 5 oder mehr oder weniger als 5 bei einem Test. Es ist jedoch nicht so, dass die Wahrscheinlichkeit der Erkrankung x-mal wahrscheinlicher ist als bei einem positiven Ergebnis, sondern dass die Wettverhältnis ein positives Ergebnis ist x-mal größer als ein negatives Ergebnis.Wenn das OR größer als 1 ist, besteht für Personen mit einem positiven Testergebnis ein höheres Risiko, an Krankheit B zu erkranken. Wenn der OR kleiner als 1 ist, besteht für Personen mit einem positiven Testergebnis ein geringeres Risiko, an Krankheit B zu erkranken.

Berechnungsbeispiel

Nehmen wir an, wir untersuchen den Zusammenhang zwischen Geschlecht und Kopfschmerzen. Wir fragen 100 Männer und 100 Frauen, ob sie im letzten Monat Kopfschmerzen hatten. Von 100 Frauen hatten 90 Kopfschmerzen, von 100 Männern waren es 20.

Kopfschmerzen Keine Kopfschmerzen Frau 90 10 Mann 20 80

${displaystyle OR={90/10 über 20/80}=36}$

Der OR ist (viel) höher als 1. Dies deutet darauf hin, dass Frauen in diesem Beispiel ein höheres Kopfschmerzrisiko haben als Männer.

Interpretation des OR

Quotenverhältnisse stellen einfach eine Beziehung zwischen zwei Wettquoten dar. Damit könnte man zum Beispiel wissen, wie viel höher die Wettquote von Wettseite A im Vergleich zu Wettseite B ist. Auf Wettseite A gibt man 4 Euro für 1 Euro, wenn ein bestimmter Verein das Fußballspiel gewinnt. Auf der Glücksspiel-Website B geben die Leute 8 Euro für 1 Euro, wenn derselbe Verein das Fußballspiel gewinnt. Das Verhältnis auf der Glücksspiel-Website A beträgt also 4:1 und auf der Website B 8:1. Das gegenseitige Verhältnis zwischen den beiden Websites beträgt daher 4:8 oder 1:2. Das bedeutet, dass Sie auf der Glücksspiel-Website B doppelt so viel für Ihr eingesetztes Geld erhalten wie auf der Glücksspiel-Website A, wenn Ihr Club gewinnt.

Die Bedeutung von OR ist nur offensichtlich, wenn wir es auf den gleichen Datentyp anwenden. Im obigen Beispiel kann man zwar eine Odds Ratio berechnen, aber eine physikalische Interpretation dafür zu finden ist relativ schwierig. Immerhin handelt es sich beim ersten Verhältnis um das Verhältnis Frauen - Kopfschmerzen, beim zweiten Verhältnis um Männer - Kopfschmerzen. Im nächsten Abschnitt werden wir jedoch eine physikalische Interpretation dieser Daten erarbeiten.

Analog zum Beispiel mit den Glücksspielseiten können wir nun über zwei Möglichkeiten sprechen. Option 1 sind die Frauen mit Kopfschmerzen und die Männer ohne Kopfschmerzen, Option 2 sind die Frauen ohne Kopfschmerzen und die Männer mit Kopfschmerzen. Wir können nun sagen, weil das Wettverhältnis > 1 (das ist 36 oder 36:1), dass das Wettverhältnis zugunsten von Option 1 rollt, also Frauen mit Kopfschmerzen und Männer ohne Kopfschmerzen (im Beispiel mit den Wettseiten die Wettquote war < 1 und würfelte es daher zugunsten von Option 2, bei der das Odd Ratio 0,5 oder 1:2) war. Es gibt also an, wie oft Frauen mit Kopfschmerzen und Männer ohne Kopfschmerzen im Vergleich zu Frauen ohne Kopfschmerzen und Männern mit Kopfschmerzen (in Prozent) sind. Da in diesem Beispiel die Teilnehmerzahl für Männer und Frauen gleich ist, ist die vorherige Aussage auch global richtig.

Das Vertauschen der Zeilen ergibt ein reziprokes ODER

Bei einer Vierfeldtabelle ist es möglich, die Zeilen zu tauschen, wobei ein erstes positives Ergebnis nach dem Austausch negativ genannt wird und umgekehrt. Als Ergebnis ist das zweite ODER, das wir nach dem Tausch erhalten, das gegenseitig ist vom ersten ODER. Eine solche Mehrdeutigkeitsmöglichkeit ist in der medizinischen Statistik nicht erwünscht.

Beim Melden eines berechneten OR ist es sinnvoll, im Text anzugeben, für welche Bedingung das OR berechnet wurde. Zum Beispiel: das Odds Ratio für Frauen auf Kopfschmerzen haben ist 36, verglichen mit Männer.

Interpretation aus diagnostischer Sicht

Die Interpretation aus diagnostischer Sicht ist wie folgt. Das ODER kann als zusammengesetzt aus dem Positiven und Negativen angesehen werden Wahrscheinlichkeitsverhältnis(LR). Tatsächlich kann bewiesen werden, dass OR = LR /LR-.

Aufgrund der Anforderung von a kann sich LR- sehr nahe an 1 annähern, aber niemals gleich oder größer als 1 sein. Als Ergebnis kann LR niemals größer als OR sein. Analog kann gesagt werden, dass LR- niemals kleiner oder gleich 1/OR sein kann. Aus diesen Ergebnissen kann geschlossen werden, dass OR die Grenzen bestimmt, zwischen denen LRs variieren können, d. h. die Grenzen bestimmt, innerhalb derer ein Test die Wahrscheinlichkeit einer Erkrankung nach dem Test für ein bestimmtes Testergebnis maximal ändern kann. Wie der Test die Posttest-Erkrankungswahrscheinlichkeit konkret verändert, lässt sich anhand des einzelnen Elements, dem OR, nicht ermitteln, sondern auch aus der Formel OR = LR /LR- ableiten, dass je größer der Beitrag dazu beitragen kann die Nachtestwahrscheinlichkeit bei positivem Testergebnis erhöht (und damit einen größeren Beitrag zur Diagnosestellung leistet), wird er auch eine überlegte Diagnose weniger gut ausschließen können. Tatsächlich ist LR aufgrund der Formel OR = LR /LR- immer gleich OR * LR-, also ist LR immer OR-mal größer als LR-. Das heißt, wenn LR größer ist (und damit bei positivem Testergebnis auf eine höhere Nachtestwahrscheinlichkeit schließen lässt), wird auch LR- größer (und damit bei negativem Testergebnis führt zu einer höheren Krankheitswahrscheinlichkeit nach dem Test und schließt damit eine Krankheit aus, wird sie erschweren).

Das Odds Ratio in der Epidemiologie

Das vorherige betraf hauptsächlich die diagnostische Odds Ratio mit der Forderung, dass die Assoziation positiver Assoziation wichtig ist. Diese Anforderung scheint in der Epidemiologie nicht von unmittelbarer Bedeutung zu sein, sodass die Odds Ratio zwischen 0 und unendlich variieren kann. Ein OR zwischen 0 und 1 zeigt ein verringertes Risiko bei Exposition gegenüber dem Umweltfaktor an, ein OR zwischen 1 und unendlich zeigt ein erhöhtes Risiko bei Exposition gegenüber dem Umweltfaktor an.

Einige Assoziationsmaße, abgeleitet aus dem Odds Ratio

Die Odds Ratio hat keine natürliche Null und bei gleicher positiver und negativer Assoziation spiegelt sich diese Tatsache nicht im absoluten Wert dieser Kennzahl wider. Diese Eigenschaften finden Sie in Yules Q und Yules Y. Die Formeln für diese Kennzahlen lassen sich so schreiben, dass eine direkte Ableitung der Odds Ratio sofort ersichtlich ist.

Referenz

1. D. Schmutz. Verstehen von Odds und Odds Ratios. Geburtshilfe und Gynäkologie (2008); 111, 423-426.