WikiDer > Противоположная группа

Opposite group

Это естественная трансформация бинарной операции от группы к ее противоположности. ⟨грамм₁, грамм₂⟩ Обозначает упорядоченная пара двух элементов группы. * 'можно рассматривать как естественно индуцированное добавление +.

В теория групп, филиал математика, противоположная группа это способ построить группа из другой группы, что позволяет определить правильное действие как частный случай левое действие.

Моноиды, группы, кольца, и алгебры можно рассматривать как категории с одним объектом. Строительство противоположная категория обобщает противоположную группу, противоположное кольцо, так далее.

Определение

Позволять ${ displaystyle G}$ быть группой под операцией ${ displaystyle *}$ . Противоположная группа ${ displaystyle G}$ , обозначенный ${ Displaystyle G ^ { mathrm {op}}}$ , имеет тот же базовый набор, что и ${ displaystyle G}$ , и его групповая операция ${ Displaystyle { mathbin { ast '}}}$ определяется ${ displaystyle g_ {1} { mathbin { ast '}} g_ {2} = g_ {2} * g_ {1}}$ .

Если ${ displaystyle G}$ является абелевский, то он равен своей противоположной группе. Кроме того, каждая группа ${ displaystyle G}$ (не обязательно абелев) естественно изоморфный своей противоположной группе: изоморфизм ${ displaystyle varphi: G to G ^ { mathrm {op}}}$ дан кем-то ${ Displaystyle varphi (х) = х ^ {- 1}}$ . В общем, любой антиавтоморфизм ${ displaystyle psi: G to G}$ порождает соответствующий изоморфизм ${ displaystyle psi ': G to G ^ { mathrm {op}}}$ через ${ Displaystyle psi '(г) = psi (г)}$ , поскольку

{ Displaystyle psi '(g * h) = psi (g * h) = psi (h) * psi (g) = psi (g) { mathbin { ast'}} psi (h ) = psi '(g) { mathbin { ast'}} psi '(h).}

Групповое действие

Позволять ${ displaystyle X}$ быть объектом в некоторой категории, и ${ Displaystyle rho: G to mathrm {Aut} (X)}$ быть правильное действие. потом ${ displaystyle rho ^ { mathrm {op}}: G ^ { mathrm {op}} to mathrm {Aut} (X)}$ левое действие, определяемое ${ Displaystyle rho ^ { mathrm {op}} (g) x = x rho (g)}$ , или же ${ displaystyle g ^ { mathrm {op}} x = xg}$ .